阪大理系数学'22年前期[3]

正の実数t に対し、座標平面上の2PQを考える。t の範囲を動くとき、座標平面内で線分PQが通過する部分を図示せよ。

解答 動く線分、曲線の通過範囲を求める問題は、難関大では頻出テーマです。

2PQを通る直線の方程式は、
 () ・・・@
Py軸上のの部分に位置する点、Qx軸上のの部分に位置する点なので、直線@のうち、線分PQ上に来る部分は、かつの部分の中にあります。
のときより ・・・A
のとき、@を
t2次関数とみると、
(とおきます)
のグラフは、軸がにある放物線です。なので、 (の範囲の中間点)と軸の位置との大小関係で場合分けします。
(i) のとき(ii) のとき(iii) のとき(iv) のとき,それぞれの場合に応じて、のグラフは右図のようになります。です。
(i) のとき、で、t の範囲は軸の右側に来ます。より、 ・・・B
ただし、においてはなので、線分PQの通過範囲が存在するのはの範囲だけです。
(ii) のとき、で、t の範囲は軸の位置を含みより、 ・・・C
(iii) のとき、で、t の範囲は軸の位置を含みより、 ・・・D
(iv) のとき、で、t の範囲は軸の左側に来ます。より、 ・・・E
直線は、とするとより、において交わります。
直線は、とするとより、において接します。
直線は、とするとより、において接します。
線分
PQが通過する部分を図示すると、A,B,C,D,Eより、右図黄緑色着色部(境界線を含む)



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