阪大理系数学
'22
年前期
[3]
正の実数
t
に対し、座標平面上の
2
点
P
と
Q
を考える。
t
が
の範囲を動くとき、座標平面内で線分
PQ
が通過する部分を図示せよ。
解答
動く線分、曲線の通過範囲を求める問題は、難関大では頻出テーマです。
2
点
P
と
Q
を通る直線の方程式は、
(
)
・・・@
で
P
は
y
軸上の
の部分に位置する点、
Q
は
x
軸上の
の部分に位置する点なので、直線@のうち、線分
PQ
上に来る部分は、
かつ
の部分の中にあります。
のとき
,
より
・・・A
のとき、@を
t
の
2
次関数とみると、
(
とおきます
)
のグラフは、軸が
にある放物線です。
なので、
,
,
(
の範囲の中間点
)
と軸の位置
との大小関係で場合分けします。
(i)
のとき
,
(ii)
のとき
,
(iii)
のとき
,
(iv)
のとき
,それぞれの場合に応じて、
のグラフは右図のようになります。
,
,
です。
(i)
のとき、
で、
t
の範囲
は軸の右側に来ます。
,
より、
・・・B
ただし、
においては
なので、線分
PQ
の通過範囲が存在するのは
の範囲だけです。
(ii)
のとき、
で、
t
の範囲
は軸の位置を含み
,
より、
・・・C
(iii)
のとき、
で、
t
の範囲
は軸の位置を含み
,
より、
・・・D
(iv)
のとき、
で、
t
の範囲
は軸の左側に来ます。
より、
・・・E
直線
と
は、
とすると
,
より、
において交わります。
直線
と
は、
とすると
,
,
より、
において接します。
直線
と
は、
とすると
,
,
より、
において接します。
線分
PQ
が通過する部分を図示すると、A,B,C,D,Eより、右図黄緑色着色部
(
境界線を含む
)
。
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