阪大理系数学'22年前期[3]
正の実数t に対し、座標平面上の2点P
とQ
を考える。t が
の範囲を動くとき、座標平面内で線分PQが通過する部分を図示せよ。
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解答 動く線分、曲線の通過範囲を求める問題は、難関大では頻出テーマです。
2点P
とQ
を通る直線の方程式は、
(
) ･･･①
でPはy軸上の
の部分に位置する点、Qはx軸上の
の部分に位置する点なので、直線①のうち、線分PQ上に来る部分は、
かつ
の部分の中にあります。 ･･･(＊)
のとき
，
より
･･･②
のとき、①をtの2次関数とみると、
(
とおきます)
のグラフは、軸が
にある放物線です。
なので、
，
，
(
の範囲の中間点)と軸の位置
との大小関係で場合分けします(2次関数の最大・最小を参照)。
(i) 
のとき
，(ii) 
のとき
，(iii) 
のとき
，(iv) 
のとき
，それぞれの場合に応じて、
のグラフは右図のようになります。
，
，
です。
(i) 
のとき、
で、t の範囲
は軸の右側に来ます。
，(＊)と
より、
･･･③ ただし、
においては
なので、線分PQの通過範囲が存在するのは
の範囲だけです。 (ii) 
のとき、
で、t の範囲
は軸の位置を含み
，
より、
･･･④ (iii) 
のとき、
で、t の範囲
は軸の位置を含み
，
より、
･･･⑤ 
直線
と
は、
とすると
，
より、
において交わります。
直線
と
は、
とすると
，
，
より、
において接します。
直線
と
は、
とすると
，
，
より、
において接します。
線分PQが通過する部分を図示する(不等式の表す領域を参照)と、②，③，④，⑤，⑥より、右図黄緑色着色部(境界線を含む)。
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のとき、
で、t の範囲
は軸の左側に来ます。
より、
･･･⑥