一橋大数学'06年前期[5]
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１，2，3，4が1つずつ記された4枚のカードがある。これらのカードから1枚を抜き出し元に戻すという試行をn回繰り返す。抜き出したn個の数の和を
とし、積を
とする。
(1) 
となる確率をnで表せ。 (2) 
が8で割り切れる確率をnで表せ。
解答 (1)は一般性を持たせて考えようとすると難問です。
(1) n回試行を行い、抜き出したn個の数の和
が、
となる場合の数を
として、まず、
についてどうなるかを調べてみます。 (i) 
のとき、 4枚のカードのどれを抜き出しても
を満たすので、
通りです。 (ii) 
のとき、 
･･･① となるのは、以下の場合です。・1回目に1が出たとき、
2回目は、4枚のカードのどれを抜き出しても①を満たし、4通り。
・1回目に2が出たとき、
2回目は、1，2，3を抜き出すときに①を満たし、3通り。
・1回目に3が出たとき、
2回目は、1，2を抜き出すときに①を満たし、2通り。
・1回目に4が出たとき、
2回目は、1を抜き出すときに①を満たし、1通り。
よって、①を満たすのは、
通りです。 (iii) 
のとき、 
･･･② となるのは、以下の場合です。・1回目に1が出たとき、
2回目、3回目の2回の数の和が5以下になるときに②を満たし、(ii)より、
通り。 ・1回目に2が出たとき、
2回目、3回目の2回の数の和が4以下になるときに②を満たし、(ii)と同様に(和が5になる場合を除いて数える)考えると、
通り。 ・1回目に3が出たとき、
2回目、3回目の2回の数の和が3以下になるときに②を満たし、(ii)と同様に(和が5，和が4になる場合を除いて数える)考えると、
通り。 ・1回目に4が出たとき、
2回目、3回目の2回の数の和が2以下になるときに②を満たしますが、これは、2回目も3回目も1を抜き出すときで、1通り。
よって、②を満たすのは、
通りです。 ここまで来ると規則性が見えてきます。
きっと、
になるだろう、と、予測がつきます。このまま続けていくと、
･･･③ということになりそうですが、これを数学的帰納法で示すのでは、答案が書きにくくて苦労することになります。
そこで、方針転換をして、③を違う見方で眺めることにします。 なので、③を少し変形すると、
となり、
は、異なる
個のものからn個を選ぶ組み合わせの数になりそうです。
そこで、(i)，(ii)，(iii)がそう見えるような場合の数の数え方を考えることにします。例えば、(ii)の
の場合では、
として、 として10通りと数えていますが、これを、異なる
個から2個を選ぶ組み合わせの数として、1から5の数字から2文字を選ぶ選び方を数えると、 のようになります。2つの数え方を見比べると、後者では、2回目の数字を、1回目と2回目の数字の和に入れ替えていることに気づきます。1回目に抜き出す数字1～4に、2回目以降1～4を加えていくので、i回目(
)に抜き出す数字を
として、 で組み合わせの数を数えても、
で組み合わせの数を数えても、1対1の対応が取れるので、場合の数に変わりはありません。しかも、
，
，･･･，
は、 なので、互いに相異なるn個の数字です。
なので、
であれば、
は、1から
までの異なる
個の数字からn個の数字を選ぶことになり、この組み合わせの数は、
通りです。
入試会場で書く答案としては、以下のようにまとめることができるでしょう。n回の試行の中の第i回目(
)に抜き出す数字を
(
は1，2，3，4のいずれか)とし、 と
を1対1に対応させると、
より、
は、
のとき、異なる
個の数字からn個の数字を選んだものである。その選び方、すなわち
となる
の選び方は、
通りある。
の選び方は
通りあって、そのどの1通りも同様に確からしい。
よって、求める確率は、 
......[答]
(2) 積
が8で割り切れる場合を考えると場合分けが大変なので、余事象：「
が8で割り切れない」方を考えることにします。 
が8で割り切れないのは、以下の3つの場合です。(i) n回すべて奇数の1，3を抜き出す場合、
通り。 (ii) 
回奇数の1，3を抜き出し、1回だけ2または4を抜き出す場合、2または4をn回の試行のどの回で抜き出すかがn通りあり、
通り。 (iii) 
のとき、
回奇数の1，3を抜き出し、2回だけ2を抜き出す場合、2をn回の試行のどの2回で抜き出すかが
通りあり、
通り。 よって、
のとき、
が8で割り切れない場合の数は、 
･･･④
のときは、1～4のどの数字を抜き出しても8で割り切れず、
が8で割り切れない場合の数は4通りですが、④で
とすると4になるので、すべてのnについて④としてOKです。
全事象の場合の数は(1)と同様に
通りで、求める確率は、
......[答]
追記．上記(1)は、一般的に、「1からkまで数字が書かれたk枚のカードから1枚を抜き出して元に戻す試行をn回繰り返すとき、抜き出した数字の和
が
となる確率を求めよ。」という問題にも対応できるような方針で考えました。ですが、一般性を捨てて、
となる場合(n回すべて1)、
となる場合(
回1で1回だけ2)、
となる場合(
回1で1回だけ3になるか、または、
回1で2が2回出る)、
となる場合(
回1で1回だけ4になるか、または、
回1で2，3が1回ずつ出るか、または、
回1で2が3回出る)、各場合の数を数え上げれば、平凡に解答できます(この方がやり易い)。
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