一橋大数学'07年前期[2]
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数列
，
，
を
と順に定める。放物線
を
とする。
(1) 
はx軸と2点で交わることを示せ。
解答(1) 放物線
：
がx軸と2点で交わる、ということは、2次方程式：
･･･① が相異なる2実数解をもつ、ということであり、①の判別式
ということです(2次方程式の一般論を参照)。 そこで、
とおいて、数列
がどんな数列か調べることにします。 ∴ 
これは、数列
が定数値をとる数列だということを意味します。
(2) 
とx軸との交点
，
の距離
は、2次方程式①の2解の差になります。 2次方程式：
の2解は、判別式
を用いて、
と書けるので、2解の差は、
です(2次方程式の一般論を参照)。2次方程式①については、判別式Dは
なので、①の2解の差、つまり、
は、 となります。
問題文中の漸化式より、数列
は初項2公比4の等比数列なので、
よって、 ∴ 
......[答]
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，
，
，
とx軸との交点を
，
とする。
を求めよ。
，
より、
はx軸と2点で交わります。
