一橋大数学'11年前期[3]

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xy平面上に放物線C：

と2点A

，P

がある。線分APとCは、Aとは異なる点Qを共有している。

(1) 定数pの存在する範囲を求めよ。

(2)

を、Cと線分AQで囲まれた領域とし、

を、C，線分QP，およびy軸とで囲まれた領域とする。

と

の面積の和が最小となるpの値を求めよ。

解答　数学Ⅱの微積分の基本問題ですが、やや計算が面倒です。

(1) 線分AP：

放物線Cの方程式と連立して、

∴

線分APとCが共有点をもつとすると、線分APの存在範囲

の中でもつはずです。線分APとCがQ以外の共有点をもつために、

以外の解

について、

∴

......[答]

(2)

の面積

は、

の面積

は、

として、

より、増減表は(3次関数の増減を参照)、

増減表より、

と

の面積の和が最小となるpは、

......[答]

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