慶大理工数学'02年[B1]
球面を輪切りにし、それぞれの部分を円錐の側面の一部で近似することによって、球の表面積を求めることを考える。
(1) 半径r (
)の半円S：
と直線
：
(
)は2つの交点をもつ。それぞれの交点における半円Sの2本の接線は点
で交わる。この2本の接線と直線
で囲まれた三角形をy軸のまわりに1回転してできる円錐の側面積は
である。さらに、この円錐から平面
(
)より上にある部分を取り除いた立体図形の側面積は
である。 (2) nを自然数とし、
とする。(1)で定義された立体図形で、
，
のときの側面積を
と表すと、 となる。
(3) 
を証明しなさい。
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解答 ボリューム満点の問題なので、相当に急がないと解答しきれません。
におけるSの接線は、
(ここまで複号同順)複号でプラスとした式とマイナスとした式を連立して解くと、
，
2本の接線は点
で交わります。 
......[答](テ) 円錐の底面の半径は
，底面の円周の長さは
円錐の稜線の長さRは
円錐の側面を展開してできる扇形(中心角をθ とします)の弧の長さと底面の円周の長さは等しく、
∴ 
円錐の側面積
は、 
......[答](ト) この円錐の平面
から上にある部分の稜線の長さ
は、 より、
円錐から平面
より上にある部分を取り除いた立体図形の側面積
は、 
......[答]
(2)(ナ) (ト)の結果に
，
を代入すると、側面積
は、 
......[答]
(3) 
･･･①としてしまうと、
としたときに、
のxに1を代入できなくて困ります。
①で、既に、
の形は見えているので、
を示せば良いわけですが、
の形にしてしまうと、分母
，分子
となってうまくないのです。
そこで、
をもう少し変形することにします。 ここで、Σの中について
，
より、 
･･･②
となるので、階段型グラフの面積の技巧を使います。右図において、
は黄色着色部分の面積で、階段型グラフが曲線
と曲線
にはさまれることから、∴ 
各辺をnで割って、 ここで、
のとき、
より、左辺→0，右辺→0はさみうちの原理より、
②の各辺に
をかけて、 
のとき、右辺→0なので、はさみうちの原理より、
結局、①の第2項の極限について、①より、
(証明終) 注．途中に出てきた、“
のとき、
”については、以下のようにして示します。 
，
においては、
より、
は単調増加。
(
)においては、
，
において、
の各辺をxで割り、
xをnに代えて、
のとき、
はさみうちの原理より、
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(1)(ツ) 
のとき、
，
= 
：
(∵ (テ))
(
とはできないことに注意)
