慶大理工数学'05年[A3]
平面上に4点K，E，I，Oがある。Kは動点で、その座標
が時刻t (
)の関数として
，
で与えられている(aは正の実数)。E
，I
，O
は定点である。2点E，Iを通り、直線
に第1象限で接する円の中心の座標は( サ ， シ )である。円周角の性質から、
が最大となるのはt＝ ス のときである。そのときの線分OKの長さを
，
を
とするとき、
＝ セ ，
＝ ソ である。
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解答 (サ)(シ) 2点E，Iを通る円の中心Cは線分EIの垂直2等分線：
上にあります。Cの座標は
と表せます。円と直線
が接するので、円の中心C
と
との距離は、半径、即ち、
に等しく(円と直線の位置関係参照)、 分母を払い両辺を2乗すると、
整理して、
(
)∴ 
2解のうち、第1象限で接するのは±が＋の方で、 
･･･①求める円の中心の座標は、
......[答]
(ス) 線分EKと(1)の円との交点をDとすると、Kは円周上または円の外側の点なので、
ここで、同一弧EIの上に立つ円周角
は一定で、等号が成立する(
が最大)のは、Kが円周上の点のときで、そうなるのは、Kが直線
と円との接点になるときです。
従って、円の中心C
を通り直線
と垂直な直線mと、
との交点を求めればよく、
直線m：
(2直線の平行・垂直を参照)
と連立して、 ∴ 
(①を使ってcを消去)このときのtの値も、
.......[答]
(セ) このとき、Kからx軸に下ろした垂線の足をHとすると、KH：OH＝a：1より、
OH：OK＝1：
∴ 
......[答]これより、
の最大値を与える点Kは、原点を中心とする半径
の円周
上にあることがわかります。 ･･･② 
(ソ) 
のとき、直線
はy軸に近づきます。
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の最大値を与える点Kはy軸と
との接点F
に近づきます(右図参照)。
......[答]