慶大理工数学'06年[A2]
ある時点(0年目)で、同じ容量の2つの空の樽A，Bに新味噌を一杯に入れ、以後、1年経つごとに以下の操作を行う。ただし味噌の量は自然には増減しないとする。
Bの味噌を半分取り除き、Aの味噌の半分をBに移す。さらに、Aにはその年の新味噌を入れ一杯にし、両樽ともよく混ぜる。
以下では、新味噌は0年物とし、x年物の味噌が1年経過したものを
年物とする。また、x年物とy年物を同量ずつ混ぜた味噌は
年物と呼ぶ。
n年後に上記の操作を行った直後のA，Bの味噌をそれぞれ
年物、
年物と表す。例えば
，
＝ カ となる。
自然数nに対し、
を
で表すと
＝ キ となり、数列
の一般項は
＝ ク となる。この式を用いることで、数列
の漸化式
＝ ケ を得る。ここで
とおき、数列
の一般項を求めることにより、数列
の一般項は
＝ コ となることがわかる。
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解答 (カ) 2年後に、Aの味噌は
年物になり、このうちの半分がBに移るので、その残りと0年物を同量ずつ混ぜると、
年物となる。 Bの味噌は
年物になり、このうちの半分が取り除かれて、Aの味噌の半分と同量ずつ混ぜると、
年物になります。
よって、
......[答]
(キ) n年後にA，Bの味噌が
年物、
年物だったとして、
年後には、Aの味噌は
年物となり、このうちの半分がBに移るので、その残りと0年物を同量ずつ混ぜると、
年後の操作後のAの味噌が
年物だとして、 ∴ 
......[答]
(ケ) 
年後には、Bの味噌は
年物になり、このうちの半分が捨てられて、Aの味噌の半分と同量ずつ混ぜると、
年後の操作後のBの味噌が
年物だとして、 
......[答] ･･･③
(コ) 
･･･④ より、
③－④より、
両辺に
をかけると、 
とおくと、
･･･⑤
より、
......[答]
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･･･② より、
は、初項：
，公比：
の
は、初項：
，公差：
の