慶大理工数学'06年[A2]
ある時点(0年目)で、同じ容量の2つの空の樽A,Bに新味噌を一杯に入れ、以後、1年経つごとに以下の操作を行う。ただし味噌の量は自然には増減しないとする。
Bの味噌を半分取り除き、Aの味噌の半分をBに移す。さらに、Aにはその年の新味噌を入れ一杯にし、両樽ともよく混ぜる。
以下では、新味噌は0年物とし、x年物の味噌が1年経過したものを年物とする。また、x年物とy年物を同量ずつ混ぜた味噌は年物と呼ぶ。
n年後に上記の操作を行った直後のA,Bの味噌をそれぞれ年物、年物と表す。例えば,= カ となる。
自然数nに対し、をで表すと= キ となり、数列の一般項は= ク となる。この式を用いることで、数列の漸化式= ケ を得る。ここでとおき、数列の一般項を求めることにより、数列の一般項は= コ となることがわかる。
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解答 (カ) 2年後に、Aの味噌は年物になり、このうちの半分がBに移るので、その残りと0年物を同量ずつ混ぜると、年物となる。 Bの味噌は年物になり、このうちの半分が取り除かれて、Aの味噌の半分と同量ずつ混ぜると、年物になります。
よって、 ......[答]
(キ) n年後にA,Bの味噌が年物、年物だったとして、年後には、Aの味噌は年物となり、このうちの半分がBに移るので、その残りと0年物を同量ずつ混ぜると、年後の操作後のAの味噌が年物だとして、 ∴ ......[答]
(ケ) 年後には、Bの味噌は年物になり、このうちの半分が捨てられて、Aの味噌の半分と同量ずつ混ぜると、年後の操作後のBの味噌が年物だとして、 ......[答] ・・・B
(コ) ・・・C より、 B−Cより、
両辺にをかけると、 とおくと、 ・・・D より、 ......[答]
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