慶大理工数学'09年[A2]
さいころを投げるという試行を繰り返し行う。ただし、2回連続して5以上の目が出た場合は、それ以降の試行は行わないものとする。
n回目の試行が行われ、かつn回目に出た目が4以下になる確率を
とする。このとき、
，
ケ ，
コ である。また
とおく。
に対して、
，
，
の間に成立する関係式を求め、それを
(
)の形に書くと
サ である。よって、
( シ )となる。
また、n回目の試行が行われ、かつn回目に出た目が5以上になる確率を
とする。このとき
である。
とするとき、
と
，
の間には
ス なる関係式が成り立つ。したがって、5以上の目が出る回数の期待値は
セ である。
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解答 まずは、3項間漸化式が立てられるか、というところが勝負の分かれ目になります。期待値については、やり方が書かれてしまっているので、その通りに計算すればよいのですが、かなり計算が面倒なので、ミスには充分に注意してください。
さいころを投げて、5以上の目が出る事象をU (確率
)，4以下の目が出る事象をD (確率
)とします。
(ケ) 必ず2回以上さいころを投げるので、
......[答] (コ) 3回めにDが起こるのは、
・1回目がDで2回目がUで3回目がDになる(確率
)場合と、 ・2回目がDで3回目がUになる(確率
)場合 があり、両者は排反なので、
......[答] (サ) 
のとき、n回目にDが起こるのは、 ・
回目がDで
回目がUでn回目がDになる(確率
)場合と、 ・
回目がDでn回目がDになる(確率
)場合 があり、両者は排反なので、
とすると、
･･･③①，②より、
，
より、α，βを2解とする2次方程式： (シ) ②より、
は、初項：
，公比αの等比数列。よって、 
･･･④②のα，βを入れ替えて、
これより、
は、初項：
，公比βの等比数列。よって、 
･･･⑤④－⑤より、
......[答](ス) 
のとき、n回目にUが起こるのは、 ・
回目がDで
回目がUでn回目がUになる(確率
)場合と、 ・
回目がDでn回目がUになる(確率
)場合 があり、両者は排反なので、
･･･⑥必ず2回以上さいころを投げるので
です(
も
)が、
より、 より、
のときも⑥は成立します。 
......[答]
，
∴ 
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なので
のときにも成り立ちます。
として、
より、
......[答]，
......[答]
･･･②
より、
は収束し、