慶大理工数学'09年[A3]
とする。xy平面上において点
を中心とする半径rの円
を考える。この円が曲線C：
(
)に接するのは、半径rがどのような値のときであるかを調べてみよう。この半径rの円が曲線Cと接するとき、その接点のx座標は、曲線
と直線
が接する場合の接点のx座標と一致する。
ソ のとき、
は
において
タ でのみ極小となる。よって、x座標が
なる点において半径
チ の円だけが曲線Cに接する。
ソ のとき、
は
において
で極大となり、
ツ ，
テ (
)において極小となる。したがって、x座標が
なる点で曲線Cに接する円のほかに、半径
ト の円がx座標が
，
なる2点において曲線Cに接する。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 円と直角双曲線が複雑にからまりながら微妙な接し方をする、という問題です。誘導の仕方がちょっと変わっているので、まごつくかも知れませんが、出題者の意図をよく考えるようにしましょう。
なお、微分法の方程式への応用2を参照してください。
方程式：
は、判別式：
のとき実数解を持たないか重解をもち、このとき、
(2次方程式の一般論を参照)です。
の場合には，
は正負いずれの値も取り得ます。
そこで、
においては、
，
で場合分けします。 2 ......[答]
(タ) 
は
において
......[答] でのみ極小となります。 (チ) 
より、半径
......[答] の円だけが曲線Cに接します。 
，
ここで、
(複号同順)より、
(ここまで複号同順)
(ツ) 
は
において
で極大となり、
......[答]， (テ) 
......[答]において極小となります。 (ト) したがって、x座標が
(
)なる点で曲線Cに接する円のほかに、半径
......[答] の円がx座標が
，
なる2点において曲線Cに接することになります。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
慶大理工数学TOP 数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
のとき、
は2実数解
をもち、
より、
のとき、
より、増減表は