慶大理工数学'10年[A3]
座標平面上において、以下の設問(1)，(2)，(3)のように図形Sと点Pを考える。図形S上を点Qが動くとき、線分PQの長さの最小値を
と表す。
(1) 方程式
の表す図形をSとする。点P
について
である。また、
を満たす点P
全体が描く図形は、不等式 の表す領域と一致する。
(2) 方程式
の表す図形をSとする。点P
について
である。また、
を満たす点P
全体が描く図形の面積は
である。 (3) 2つの式
の表す図形をSとする。
を満たす点P
全体が描く図形を図示しなさい。
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解答 論述式であれば、どう論述するか悩む点があるかも知れませんが、空所を補充して図形を図示するだけなので、わざわざ面倒なことを考える必要はないでしょう。
(1)(ス) 点Pと直線
上を動く点Qとの距離の最小値は、点Pと直線
との距離にほかなりません。点と直線の距離の公式より、 
......[答](セ)(ソ) 
を満たす点P
は、直線
との距離が1以下となる点で、 ∴ 
絶対値を外すと、 ∴ 
(セ) 3 (ソ) 
......[答]
(2)(タ) 点Pと円周
上を動く点Qとの距離の最小値は、点Pと円周の中心
との距離から円周の半径を引いたものに等しく、 
......[答](チ) 
を満たす点P
は、円周
上の点から距離1以下の点ですが、点Pが描く図形は、原点を中心とする半径
の円周から外側であって、かつ、原点を中心とする半径
の円周から内側となる図形で、その面積は、 
......[答]
(3) 図形Sはx軸の原点から右の部分です。
を満たすのは、
かつ
となる部分、または、原点を中心とする半径1の円の内側となる点で、図示すると右図黄緑色着色部(境界線を含む)。
追記．論述する場合には、媒介変数表示を利用するのがよいでしょう。
(1) 点P
について、直線
上の点をQ
(tは実数)として、線分PQの長さは、 (2) 点P
について、円周
上の点をQ
(
)として、線分PQの長さは、 より、
(原点とPとの距離から半径を引いたもの)点Pが
のとき、
のとき、
∴ 
(3) S上の点はQ
(
)と表せます。P
のとき、線分PQの長さは
です。
より、 (ii) 
のとき、線分PQの長さは、
のときに最小値
よって、
を満たすのは、
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のときに最小値
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