慶大理工数学'10年[A4]
正の整数n，kに対して、xの3次関数
を考える。3次方程式が相異なる3つの実数解をもつような正の整数の組を見つけたい。
の導関数をとする。が相異なる3つの実数解をもつならば、の相異なる実数解の個数は個でなければならない。これより、nとkの満たす不等式
　･･･①
が得られる。
次にとおくと、も相異なる3つの実数解をもたなければならない。これより、①を得たのと同様にして、nとkの満たす不等式
　･･･②
が得られる。
正の整数nを与えるとき、連立不等式①，②を満たす正の整数kをすべて求めると
の3つである。に対して、方程式を考えると、これはnに無関係に定まる解とnを用いて表される2つの解
の3つの実数解をもつ。


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解答　枠の形がヒントになっています。誘導にうまく乗って解答を進めましょう。

(ツ)
が相異なる3つの実数解をもつならば、の相異なる実数解の個数は2個でなければなりません(微分法の方程式への応用を参照)。
2 ......[答]
(テ) よって、2次方程式の判別式について、

　･･･①
......[答]
(ト)
①を得たのと同様にして、2次方程式の判別式について、


　･･･②
2 ......[答]
(ナ) ①について、より、
∴ 　･･･③
②について、より、
∴ 　･･･④
①とより、
　･･･⑤
②とより、
　･･･⑥
⑤，⑥より、
この不等式を満たす整数kは、③，④を考慮すると、
即ち、
......[答]
(ニ) のとき、
　･･･⑦
「nに無関係に定まる解」という問題文の記述から、xに1，，･･･と順に代入して行きます。

　･･･⑧
これより、は解をもちます。
......[答]
(ヌ) ⑧よりはを因数にもつ(因数定理を参照)ので、⑦のをで割って、

以外の解は、
(ネ) ......[答]


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