慶大理工数学'12年[2]
円
と外接し、x軸と接する円で中心のx座標が正であるものを条件Pを満たす円ということにする。
(1) 条件Pを満たす円の中心は、曲線
(
)の上にある。また、条件Pを満たす半径9の円を
とし、その中心のx座標を
とすると、
である。 (2) 条件Pを満たし円
に外接する円を
とする。また、
に対し、条件Pを満たし、円
に外接し、かつ円
と異なる円を
とする。円
の中心のx座標を
とするとき、自然数nに対し
を
を用いて表しなさい。求める過程も書きなさい。 (3) (1)，(2)で定めた数列
の一般項を求めなさい。求める過程も書きなさい。
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解答 類題が'92年[A2]でも出題されています。ヒントを活かすことにより、容易に解答できます。
(1) 条件Pを満たす円の中心Dの座標を
(
)，点
をA，Dからx軸に垂線DHを下ろし、AからDHに垂線ABを下ろします。条件Pを満たす円はx軸に接するので、その半径はqです。 三平方の定理より、
∴ 
∴ 
よって、条件Pを満たす円の中心は、曲線
(
)の上にあります(放物線を参照)。(カ) 
......[答]条件Pを満たす円の中心のy座標が円の半径なので、
より、
よって、半径9の円
の中心のx座標
は、
(キ) 6 ......[答]
(2) nを2以上の整数として、
，
の中心
，
のx座標は
(
)，
(
)です。題意より
です。条件Pを満たす円の中心は、曲線
(
)の上にあるので、
，
の半径は
，
です。
からx軸に垂線
を下ろし、
から
に垂線
を下ろします。 よって、nを自然数として、
......[答]
(3) (2)の漸化式の逆数を考えると(漸化式の技巧を参照)、 ∴ 
......[答]
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より、
，公差
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