慶大理工数学'13年[1]
座標平面上において、方程式
で表される図形Cを考える。行列
を用いると、この方程式は 
と表せる。
であるθ を用いて、
と表される行列Pが、ある実数α，β (
)に対し、
を満たすとする。このとき、
であり、
，
である。
とおくと、図形Cの方程式
は
となる。
図形C上の2点間の距離の最大値は
であり、この最大値を与える図形C上の2点の座標は
と
である。
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解答 2009年[B1]でも出題されたベクトルの大きさを変えない1次変換(行列内を2個のベクトルと見るとき、この2個のベクトルが直交するので「直交変換」と言います)の問題です。ベクトルの大きさを変えない1次変換は、本問の「回転変換」と、2011年[A1]でも出題された直線に関する対称移動(「鏡映変換」と言います)の2通りあることが知られています。
∴ 
より、
∴ 
･･･⑤
より、
･･･⑥
･･･⑦
①＋④より、
･･･⑧
③－②より、
･･･⑨
だとすると、⑧，⑨より、
となってしまうので不適。
よって、
，これと⑦より
∴ 
の2解で、
より、
，
このとき、⑧，⑨より、
，
より
(ア) 
(イ) 2 (ウ) 4 ......[答]
とおくと、
(逆行列を参照)で、
と、
とから、
∴ 
(楕円を参照)
(エ) 6 (オ) 3 ......[答]
注．
のとき、
より、 を、
に代入して、 ∴ 
とすることもできます。 図形C上の2点間の距離の最大値は長軸の長さ
で、これを与える2点は長軸の両端、
これと、
より、
(カ) 
(キ) 
(ク) 
......[答]
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