慶大理工数学'20年[4]
実数全体で定義された連続な関数
に対し、
とおく。
(1) 
のとき、
である。
(2) 実数全体で定義された連続な関数
に対し、
は奇関数であることを示しなさい。
(4) 
が偶関数であり、
となるとき、
である。このとき、
の値は
である。
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解答 ゴツい積分方程式の問題ですが、流れに乗って解答すれば、大したことはありません。
(1)(ソ) 
のとき、
(2) 
が奇関数であることを示すためには、
という関係式を示します。問題文の式で
として、 ここで、
が
という形になるように、
，つまり、
とおくと、
，t：
のときu：
(置換積分を参照) よって、
は奇関数です。
(3)(タ) 問題文の式を微分すれば良いのですが、
としてしまうと、
これでは、被積分関数の中のxを積分の外に追い出すことができず、微分しようがありません。
そこで、(2)で置換積分したことを受けて、ここでも置換積分を考えます。
とおくと、
，t：
のとき、u：
......[答]
(4)(チ) 
が偶関数、ということは、
･･･① が成り立つ、ということです。積分が
のままでは被積分関数の中のxを積分の外に追い出すことができないので、(3)と同じく、置換積分します。 左辺と右辺をxで微分して、
(∵ ①)
のとき、
，よって、
(ツ) 
......[答]
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のとき、
の導関数
を求めると、
である。
とおくと、
，t：
のとき、u：
，
......[答]
とおいて、
より、
，x：
のとき、θ：
