慶大理工数学'23[2]

kを正の実数とし、空間内に点OABをとる。点COABを含む平面上の点であり、で、四角形OACBOAを底辺とする台形であるとする。

(1) である。台形OACBの面積をkを用いて表すととなる。また、線分ACの長さをkを用いて表すととなる。

(2) 台形OACBが円に内接するとき、である。

(3) であるとし、直線OBと直線ACの交点をDとする。△OBPと△ACPの面積が等しい、という条件を満たす空間内の点P全体は、点Dを通る2つの平面上の点全体から点Dを除いたものになる。これら2つの平面のうち、線分OAと交わらないものをαとする。点Oから平面αに下ろした垂線の長さはである。


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解答 空間ベクトルの基本問題ですが、上手に計算しましょう。

(1)  ・・・@
 ・・・A
 ・・・B

 ・・・C (内積を参照)
A,B,Cより、
......[]
Bから直線OAに垂線BHを下ろすと、////より、とおくと、
より、
 ∴
 ・・・D
注.です。
 ・・・E
より、台形の面積は、
......[]
また、より、 ・・・F
 ・・・G
Gより、A,B,Cを用いて、
......[] ・・・H

(2) 台形が円に内接するとき、対向する内角は補角をなす(円と図形を参照)ので、(1)の結果より、

 ( G)
 ( A,C)
これより、E,Hを用いて、
よりであって、分母を払って2乗すると、


 ∴ ......[] (を満たす)
また、@,Fより、
 ・・・I

(3) のときHより、,よってBよりです(四角形OACBは等脚台形)
OBP = ACPより、点Pは、OBACとの距離が等しくなり、点Pの全体は、1つは、辺OAの垂直二等分面です。これはOAと交わるので不適です。もう一つは、ODD側への延長線とPとの距離と、PからADに下ろした垂線の長さが等しい場合で、これは点Dを通り、台形OACBを含む面に垂直な平面になり、この平面が平面αになります。この平面はOAと平行なのでOAと交わりません。これ以外に、△OBP = ACPを満たす図形はありません。
DからOAに下ろした垂線の足をKとすると、KOAの中点で、Iより、
OBH ODK,右図でOHOK = 34より、BHDK = 34,点Oから平面αに下ろした垂線の長さはに等しく、Dより、 ......[]



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