慶大理工数学'23年[2]
kを正の実数とし、空間内に点O
，A
，B
をとる。点CはO，A，Bを含む平面上の点であり、
で、四角形OACBはOAを底辺とする台形であるとする。
(1) 
である。台形OACBの面積をkを用いて表すと
となる。また、線分ACの長さをkを用いて表すと
となる。
(2) 台形OACBが円に内接するとき、
である。
(3) 
であるとし、直線OBと直線ACの交点をDとする。△OBPと△ACPの面積が等しい、という条件を満たす空間内の点P全体は、点Dを通る2つの平面上の点全体から点Dを除いたものになる。これら2つの平面のうち、線分OAと交わらないものをαとする。点Oから平面αに下ろした垂線の長さは
である。
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解答 空間ベクトルの基本問題ですが、上手に計算しましょう。
(1) 
･･･① 
･･･④ (内積を参照)②，③，④より、
......[ア]Bから直線OAに垂線BHを下ろすと、
//
//
より、
とおくと、 
より、
∴ 
∴ 
，
･･･⑤ 注．
です。 
･･･⑥より、台形の面積は、
......[イ]また、
より、
･･･⑦ 
･･･⑧⑧より、②，③，④を用いて、
∴ 
......[ウ] ･･･⑨
(2) 台形が円に内接するとき、対向する内角は補角をなす(円と図形を参照)ので、(1)の結果より、 
(∵ ⑧)
(∵ ②，④)これより、⑥，⑨を用いて、
より
であって、分母を払って2乗すると、また、①，⑦より、
･･･⑩
(3) 
のとき⑨より、
，よって③より
です(四角形OACBは等脚台形)。△OBP = △ACPより、点Pは、OB，ACとの距離が等しくなり、点Pの全体は、1つは、辺OAの垂直二等分面です。これはOAと交わるので不適です。もう一つは、ODのD側への延長線とPとの距離と、PからADに下ろした垂線の長さが等しい場合で、これは点Dを通り、台形OACBを含む面に垂直な平面になり、この平面が平面αになります。この平面はOAと平行なのでOAと交わりません。これ以外に、△OBP = △ACPを満たす図形はありません。
点DからOAに下ろした垂線の足をKとすると、KはOAの中点で、⑩より、
△OBH ∽ △ODK，右図でOH：OK = 3：4より、BH：DK = 3：4，点Oから平面αに下ろした垂線の長さは
に等しく、⑤より、
......[オ]
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･･･②
･･･③
，
∴ 
......[エ] (
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