慶應大学理工学部2026年数学入試問題


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[1]　座標平面上において、原点Oを中心とする半径1の円をCとし、点Aを通り傾きがt の直線をlとする。
(1) 円Cと直線lがただ1つの共有点をもつとき、その点のx座標はである。
(2) 円Cと直線lが異なる2点で交わるようなt の値の範囲はである。
以下、t がを満たすように動くとする。このとき、円Cと直線lの2つの交点を結ぶ線分の中点をMとする。
(3) 線分OMの長さをt の式で表すと、である。
(4) 点Mの軌跡の方程式はである。ただし、xの範囲はである。
(5) 円Cと直線lの2つの交点と原点Oを頂点とする三角形を、直線lのまわりに1回転してできる立体の体積をVとする。Vが最大となるtの値はである。
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[2]　空間内に点Pと平面αをとる。点Pと平面α上の3点O，A，Bに対して、
，，，
が成り立つとする。線分AB上の点Qを、とが垂直であるようにとる。
(1) である。
(2) とおく。このとき、t の値およびそれを求める過程を解答欄(2)に記述しなさい。
(3) である。
(4) 点Pを通り平面αに垂直な直線とαの交点をHとする。このとき、実数kとlを用いてと表すと、となる。
(5) 点Pが平面α上にあるのは、の値がまたはのときである。
[解答へ]

[3]　表の出る確率がの硬貨が1枚ある。nを正の整数とする。
(1) 硬貨をn回投げ、表が出た回数をaとする。さらに続けて硬貨をn回投げたうちで、表が出た回数をbとする。このとき、aとbの積が0である確率をnの式で表すとである。「aとbの和が0である」という事象の起こる場合の数をとおく。のとき、である。また、である。ただし、はxの自然対数とする。
(2) 硬貨をn回投げ、表が出た回数をcとする。さらに続けて硬貨を回投げたうちで、表が出た回数をdとする。このとき、「である」という事象をCとし、「である」という事象をDとする。のとき、事象Dの起こる確率はである。また、一般のnに対して、事象Dが起こったときに事象Cの起こる条件付き確率はである。
[解答へ]

[4]　複素数平面上の異なる3点，，に対して、等式
が成り立つとする。ただし、iは虚数単位であり、pは正の数である。

(1) 線分ACの中点をMとする。Mを表す複素数を解答欄(1)に印刷されている文の下線部に記入しなさい。さらに、Mを表す複素数を用いて、線分ACと直線BMが垂直に交わることの証明を記述しなさい。

以下、複素数 ()は、，であり、等式
　
を満たすとする。このとき、3点α，，を頂点とする三角形の面積をとする。

(2) のとき、とをそれぞれpの式で表すと、，となる。

さらに、，とする。

(3) をnのみを用いた式で表すと、となる。
(4) αとβが、を満たす実数である場合を考える。また、Nをが実数となるような最小の正の整数とする。このとき、，，･･････，，を頂点とする多角形の面積はである。
[解答へ]

[5](1) iを虚数単位とし、実数θに対してとおく。実数aに対して、を満たすの1つをaを用いて表すとであり、を満たすの1つをaを用いて表すとである。
(2) θの関数を適切な有理数b，c，dを用いての形で表すと、となる。
(3) 座標平面上で不等式の表す領域において方程式が定める曲線をCとする。座標平面において、原点を極、x軸の正の部分を始線とする極座標を考えると、Cの極方程式はとなる。ただし、θの動く範囲はである。また、曲線Cとx軸で囲まれた部分の面積はである。
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