慶大理工数学'26年[4]
複素数平面上の異なる3点
，
，
に対して、等式
が成り立つとする。ただし、iは虚数単位であり、pは正の数である。
(1) 線分ACの中点をMとする。Mを表す複素数を解答欄(1)に印刷されている文の下線部に記入しなさい。さらに、Mを表す複素数を用いて、線分ACと直線BMが垂直に交わることの証明を記述しなさい。
以下、複素数
(
)は、
，
であり、等式
を満たすとする。このとき、3点α，
，
を頂点とする三角形の面積を
とする。
(2) 
のとき、
と
をそれぞれpの式で表すと、
，
となる。
さらに、
，
とする。
(3) 
をnのみを用いた式で表すと、
となる。 (4) αとβが、
を満たす実数である場合を考える。また、Nを
が実数となるような最小の正の整数とする。このとき、
，
，･･････，
，
を頂点とする多角形の面積は
である。
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解答 複素数の漸化式、ということで度肝を抜かれますが、解き易いように工夫されていて、問題文の流れに沿って解答すれば、最終解答にたどりつきます。
･･･①
(1) 線分ACの中点Mを表す複素数は
です。 ①を変形すると、
で割ると、
･･･②
は
を表す複素数です。
は
を表す複素数です。
なので、②は、
を
だけ回転して大きさを
倍すると
になることを意味します。MはACの中点なので、線分ACと直線BMは垂直に交わります。(証明終)
(2) ②両辺の大きさを考えると、
3点α，
，
を頂点とする三角形、つまり、3点α，β，γを頂点とする三角形の面積
は、
......[チ]③で
として、 
と同様に考え、
･･･⑥④を②と同様に変形すると、
より、 これより、「αと
の中点」と
を結ぶとαと
を結ぶ線分と垂直です。 
･･･⑦ (∵ ⑥)3点α，
，
を頂点とする三角形の面積
は、底辺を⑥，高さを⑦と考え、 
......[ツ]注．実戦的には、
が
の
倍で、相似比から、
が
の
倍(これが数列
の公比です)となり、[ツ]を[チ]の
倍として求めることができます。
⑤と同様に、③を変形すると、
これより、数列
の公比は
，数列
の公比は
です。
よって、
のとき、数列
の公比は
です。
(3) これより、
......[テ]
(4) 
のとき、⑧より、 数列
は公比
，初項
(これは、実数です)の等比数列です。 
が実数となるのは、
のときで、こうなる最小の整数は
です。
は
を
だけ回転し、大きさを
倍したもので、
，
，
を頂点とする三角形、
，
，
を頂点とする三角形、･･･、
，
，
を頂点とする三角形の間に重なりはありません。
，原点O，
は実軸上の点であり、
，
，･･･，
，
を頂点とする多角形の面積Tは、これらの三角形の面積
，
，
，･･･，
の和であり、[チ]の結果で
として
であり、数列
の公比が3であることから、
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各問題の著作権は
出題大学に属します。なお、解答は、
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･･･③
，
･･･④
･･･⑤
･･･⑧
......[ト]