慶大理工数学'26年[5]
(1) iを虚数単位とし、実数θに対して
とおく。実数aに対して、
を満たす
の1つをaを用いて表すと
であり、
を満たす
の1つをaを用いて表すと
である。 (2) θの関数
を適切な有理数b，c，dを用いて
の形で表すと、
となる。 (3) 座標平面上で不等式
の表す領域において方程式
が定める曲線をCとする。座標平面において、原点を極、x軸の正の部分を始線とする極座標
を考えると、Cの極方程式は
となる。ただし、θの動く範囲は
である。また、曲線Cとx軸で囲まれた部分の面積は
である。
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解答 極座標で考えた曲線で囲む面積を求める問題ですが、最後の面積は正直に解答するのは実戦的とは言えません。空所補充問題なので、簡単にすませたいところです。
∴ 
......[ヌ]
(3) C：
，
･･･① 
，
･･･②より、
①は、 ∴ 
または
･･･③
①の
より、
のときには、
においては(三角関数のグラフを参照)、
かつ「
または
」
よって、
このとき、
と③より、
･･･④
のとき
なので、④は
を含みます。
よって、Cの極方程式は、
......[ネ]θの動く範囲は、
......[ノ]θが0から
まで変化するとき、
は、1から0まで単調に減少します。②，④より、 
･･･⑤は、微分すると、
であって、
，
より
(0になるのは
のときのみ)より、1から0まで単調に減少します(関数の増減を参照)。
よって、曲線Cとx軸で囲まれた部分の面積Sは、
②，④より、 [ヌ]を利用したいのですが、
が困ります。そこで漸化式を考えます(三角関数の積分を参照)。 ∴ 
⑥に代入すると、 [ヌ]の結果と
を代入し、 注．誘導に沿っているとはいえ、上記ではあまりにも大変です。本問では空所補充問題ということもあり、極座標の面積公式
を用いて、 として求めるのが賢明です。
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出題大学に属します。なお、解答は、
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，
，
より、
を満たす
の1つは
......[ナ]
より、
，
，
より、
を満たす
の1つは
......[ニ]
･･･⑥
......[ハ]
の関係：
，
のとき、