慶大理工数学'26年[1]
座標平面上において、原点Oを中心とする半径1の円をCとし、点A
を通り傾きがt の直線をlとする。
(1) 円Cと直線lがただ1つの共有点をもつとき、その点のx座標は
である。 (2) 円Cと直線lが異なる2点で交わるようなt の値の範囲は
である。 以下、t が
を満たすように動くとする。このとき、円Cと直線lの2つの交点を結ぶ線分の中点をMとする。
(3) 線分OMの長さをt の式で表すと、
である。 (4) 点Mの軌跡の方程式は
である。ただし、xの範囲は
である。 (5) 円Cと直線lの2つの交点と原点Oを頂点とする三角形を、直線lのまわりに1回転してできる立体の体積をVとする。Vが最大となるtの値は
である。
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解答 図形を考察して最大を考える、よくある問題ですが、終盤の微分計算はかなり面倒です。
原点Oを中心とする半径1の 円 C：
･･･①
点A
を通り傾きがt の直線l：
･･･②
①，②を連立し、yを消去すると、
･･･③
(1) 円Cと直線lがただ1つの共有点をもつとき、2次方程式③は、重解を持ちます。判別式Dについて、 
･･･④∴ 
このとき③は、
ただ1つの共有点のx座標は、
......[ア]
(2) 円Cと直線lが異なる2点で交わるとき、2次方程式③は相異なる2実数解を持ち、判別式Dについて、④より、
以下、
とします。
2次方程式③の相異なる2実数解をα，βとします。③について、解と係数の関係より、
，
･･･⑤
として、
･･･⑥
･･･⑦
(3) 直線lの方程式を書き直して、
......[エ]
(4) Mは円C内部の点なので
より
です。⑥，⑦よりt を消去すると、
(5) 円Cと直線lの2つの交点の距離の半分hは、三平方の定理より(円と直線の位置関係を参照)、
円Cと直線lの2つの交点と原点Oを頂点とする三角形を、直線lのまわりに1回転してできる立体は、OMを半径とする円を底面とする高さhの円錐2個を底面の円で貼り合わせた立体です。その体積Vは、
とすると
，
において
，
において
より(関数の増減を参照)、
即ちVは、
即ち
のときに最大となります。 
......[カ]
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出題大学に属します。なお、解答は、
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