京大理系数学'02年前期[5]
a，b，cを実数とする。
と
のグラフが相異なる3つの交点を持つという。このとき
が成立することを示し、さらにこれらの交点のx座標のすべては開区間
に含まれていることを示せ。
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解答 3次方程式の解に関する問題です。問題文中のxの開区間
というのは、
という範囲(両端を含まない)のことです。
を連立すると、
･･･①
とおきます。
題意成立のために、3次方程式①が3個の相異なる解をもてばよいのですが、そのためには、
が極大値と極小値をもち、極大値が正で極小値が負となることが必要十分です。
が極大値と極小値をもつために、少なくとも、2次方程式
が相異なる2実数解をもつ必要があります。従って、2次方程式
の判別式Dは正です(2次方程式の一般論を参照)。
∴ 
∴ 
･･･②
②の条件下に、2次方程式
の2解を
，
とします。
極大値
，極小値
であり、
において、
より
は単調増加です。
，また、
のとき
なので、3次方程式
は
の範囲に解pをもちます。また、
，
なので、3次方程式
は
の範囲に1個の解をもちます。
また、
において、
より
は単調増加です。
，また、
のとき、
なので、3次方程式
は
の範囲に解qをもちます。また、
なので、3次方程式
は
の範囲に1個の解をもちます。
，
であって、
において
より
は単調減少で、3次方程式
は
の範囲に1個の解をもちます。
以上より、
と
のグラフが相異なる3つの交点を持つとき、3個の交点のx座標、つまり、3次方程式
の3個の解のずべては、
の範囲にあります。 ･･･③
3次方程式
，つまり、
は重解αと解pをもつので、解と係数の関係より、
∴ 
3次方程式
，つまり、
は重解β と解qをもつので、解と係数の関係より、
∴ 
よって、③より、3次方程式
は、
の範囲に異なる3実数解をもちます。
つまり、
と
のグラフの3交点のx座標のすべては開区間
に含まれています。
この問題については、おもしろい技巧があります。大学への数学'05年6月号に投稿した、拙稿をご参照ください。
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