京大理系数学'05年前期[5]
kを正の整数とし、
の範囲で定義された2曲線
：
， 
：
を考える。
(1) 
と
は共有点をもつことを示し、その点における
の接線は点
を通ることを示せ。
(2) 
と
の共有点はただ1つであることを証明せよ。
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解答 (2)は難問です。
：
･･･①，
：
･･･② とします。
②の全実数xに対する増減表は以下の通り(関数の増減を参照)。②において、
とすると、
全実数で考えたときの②のグラフとx軸との交点は
従って、kを正の整数として、
において、
①について、
(
，k：正の整数) (微分の公式を参照)
のとき、
，
のとき、
よって、
はこの範囲において単調減少で、2点
，
を通ります。
以上より、2曲線は、この範囲において、共有点をもちます(右図参照)。
この共有点Pのx座標をtとします。y座標は、 
･･･③
のPにおける接線は、
･･･④③より、
ところで、tも、
を満たすから、
であって、 これと③を④に代入すると、
･･･⑤
(2) (1)だけでは、共有点が存在することは言えても、共有点が「ただ1つ」ということは言えません。右図のように、2曲線とも単調減少であっても、よじれるようになっている場合には、複数個の共有点が存在する場合もあるからです。
とおいて、
が単調減少であることが示せれば、
，
から、共有点がただ1つと言うことができます。
が単調減少であることを示すには、
が言えればよいのですが、これは成り立ちません。この辺をきちんと調べていき出すと、大変なことになります。試験場では、早めに見限る必要があります。
増減から考えていくのでないとすると、①と②を連立した方程式から共有点を考えていくことになります。
①と②を連立すると、 これは、とても解けそうな方程式ではありません。
例えば、この範囲に2解t，uをもつとして、
としてみても、矛盾点が出てきません。
この辺で試験場では行き詰まってしまうかも知れません。
こういうときに、一つ考えたいのは、(1)を利用するのだろうということです。
(1)では、共有点における接線が出てきます。ハハーン、接線を利用するのだろうな、ということになるわけです。
受験生の皆さんは、試験場で行き詰まったら、必ず、問題文を読み返して、見落としているポイントがないか、チェックするようにしましょう。
⑤より、共有点P
における接線は、 と書けます。この接線は(1)より、
を通ります。(1)のグラフより、
において、
はx軸よりも下を通ります。ということは、共有点Pのy座標は負です。
は、
においては、
の部分を通りますが、
においては、
の部分を通ります。
共有点Pのy座標が負ということは、共有点Pは
の範囲に存在しているということです。Pと異なる共有点Q
があると仮定する(
，
)と、⑤と同様にして、Qにおける接線は、
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とすると
となるから、
の接線は、点
を通ります。
，
，
，
を通ります。
から、曲線
の
の部分に異なる2接線が引けるということです。
の
の部分は、単調減少かつ下に凸なので、どうやっても、点
から2本接線を引くことはできません(関数の凹凸を参照)。