京大理系数学'06年前期[1]
を2次式とする。整式
は
では割り切れないが、
は
で割り切れるという。このとき2次方程式
は重解をもつことを示せ。
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解答 多項式の除算の問題です。2次方程式
が重解をもつと言っているので、
の2解をα，βとおいて、
を示すことになります。
は2次式なので、
の2解をα，β (α，β は複素数)，
として、
･･･①
は
で割り切れないので、商を
，余り(1次式または0でない定数)を
として、
･･･②
は
で割り切れるので、
因数定理より、
②より、
∴ 
は、1次式、または、定数なので、
より、
と書けます。
∴ 
または、
のとき、
となりますが、これでは、
が
で割り切れることになり、題意に適しません。
よって、
①より、
よって、2次方程式
は重解αを持ちます。
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