京大理系数学'07年前期乙[1]
以下の各問にそれぞれ答えよ。
問1．定積分
を求めよ。 問2．1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき、1歩で2段昇ることは連続しないものとする。15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか。
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解答 問1．の定積分は簡単そうに見えますが、教科書レベルを越える技巧を必要とします。2つの積分に分けて、
とおいてもできますが、
とおくのが最も簡単です(置換積分(その3)を参照)。 問2．うまい考え方があるようですが、ここでは、平凡に数えていくことにします。試験会場では、数分考えてうまい解法がひらめかない場合は、あまりに面倒というのでない限り、実直な解法が安全確実です。
問1．まず、
という置換を考えます(置換積分を参照)。 2乗して、
，両辺を微分して、
∴ 
x：
のとき、t：
この置換により、 ですが、
の積分が残ります。
この積分は、
とおく(置換積分(その3)を参照)と、両辺を微分して、 以上より、
......[答]
問2．1歩で1段昇るのを①，1歩で2段昇るのを②で表すことにします。
題意より、②は連続しないので、‘②②'という並びはできません。②と②の間には必ず①が入ります。
②が6個以上出てくると、6個の②の間に①が5個以上入ることになり、17段以上昇ることになるので、②の個数は0個～5個です。
(a) ②が5個のとき、まず、②が連続しないように、②と②の間に①を1個ずつ4個入れます。
②①②①②①②①②
これでは、14段しか昇らないので、もう1つ①をどこかに置かなければならないのですが、①を置く位置は、既に①が置かれている4カ所に2つのめの①を置くか、②の両端、合わせて6カ所のどこかになるので、6通り。
(b) ②が4個のとき、
②①②①②①②
これでは、11段なので、①4個を置きますが、既に①が置かれている3カ所、②の両端、合わせて5カ所の中から、重複を許して4カ所を選ぶ(重複組み合わせを参照)ので、 
通り。(c) ②が3個のとき、
②①②①②
これでは、8段なので、①7個を置きますが、既に①が置かれている2カ所、②の両端、合わせて4カ所の中から、重複を許して7カ所を選ぶので、
通り。(d) ②が2個のとき、
②①②
これでは、5段なので、①10個を置きますが、既に①が置かれている1カ所、②の両端、合わせて3カ所の中から、重複を許して10カ所を選ぶので、
通り。(e) ②が1個のとき、①13個を置きますが、②の両端2カ所の中から重複を許して13カ所を選ぶので、
通り。(f) ②が0個のとき、①15個の置き方は、1通り。
以上より、
通り ......[答]
別解 上記で先に①を置いてしまうという考え方もできます。②の個数に応じて、①の個数は、5個、7個、9個、11個、13個、15個になります。
(a) ①が5個のとき、①と①の間、または両端、合わせて6カ所のどこかに②を5個置くので、6通り。
(b) ①が7個のとき、①と①の間、または両端、合わせて8カ所のどこかに②を4個置くので、
通り。 (c) ①が9個のとき、①と①の間、または両端、合わせて10カ所のどこかに②を3個置くので、
通り。 (d) ①が11個のとき、①と①の間、または両端、合わせて12カ所のどこかに②を2個置くので、
通り。 (e) ①が13個のとき、①と①の間、または両端、合わせて14カ所のどこかに②を1個置くので、
通り。 (f) ①が15個のとき、②は置かないので、1通り。
以上より、
通り ......[答]
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