京大理系数学'08年乙[3]
空間の1点Oを通る4直線で、どの3直線も同一平面上にないようなものを考える。このとき、4直線のいずれともO以外の点で交わる平面で、4つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在することを示せ。
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解答 ベクトルで考えるのがラクです。「存在する」ことを示すためには、条件に合うものを求める方法を説明します。ここでは、平行四辺形の求め方を説明すれば、「存在する」ことを示したことになります。なお、直線のベクトル方程式、空間ベクトルを参照してください。
Oを原点とし、4直線の方向ベクトルを
，
，
，
とします。
また、4直線上の点を、A(
)，B(
)，C(
)，D(
)とします(こうできるのは、4直線とも点Oを通るからです)。
どの3直線も同一平面上に存在しないので、
，
，
の3ベクトルは1次独立で、
を、0ではない3つの実数の定数p，q，rを用いて、
と表すことができます。
注．例えば
だとすると、
は、
と
の作る平面内のベクトルになり、
，
，
を方向ベクトルとする3直線は同一平面上の直線になってしまいます。
ここで、
とすると、
，
，
の係数について、
この①が満たされれば、
となるので、四角形ABDCは平行四辺形です。
空間の1点Oを通る4直線で、どの3直線も同一平面上にないようなものが与えられ、つまり、3つの1次独立なベクトル
，
，
と、3つの0ではない実数の定数p，q，rと、
が与えられたとき、
より、例えば①を用いて、
，
，
，
と定め、
，
，
，
を方向ベクトルとする4直線上の点A(
)，B(
)，C(
)，D(
)をとります。s，t，u，vはいずれも0ではないので、A，B，C，DはOとは異なる点です。それでいてかつ、
となり、四角形ABDCが平行四辺形になります。
この平行四辺形ABDCを含む平面を選べば、
4直線のいずれともO以外の点で交わる平面で、4つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在します。
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