京大理系数学'09年乙[4]
を
をみたす行列とする(a，b，c，dは実数)。自然数nに対して平面上の点
を
により定める。
と
の長さが1のとき、すべてのnに対して
の長さが1であることを示せ。ここでOは原点である。
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解答 ベクトルの大きさを変えない1次変換(直交変換と言います。直交変換については、1次変換その2を参照)は、回転変換(行列式が1)と鏡映変換(行列式が
)に限られる、という、慶大理工'09[B1]と同一テーマの問題です。京大の本問では、
という条件がついているので回転変換になります。また、そのほか、スタートが
なので、x軸方向に長さを変えない1次変換(固有値
に対する固有ベクトルが
)も条件をみたします。
より、
･･･①
より、
(∵ ①)
(∵ 
)
∴ 
または 
(i) 
のとき、 ①より、
また、
より、
(複号同順)つまり、
，または、
(bは任意の実数)前者では、 後者では、
いずれにしても、
です。
(ii) 
のとき、 ①より、
，
とおくことができます。よって、 
･･･②A，Bを実数として、
③がθ に関わらず成立するためには、
，つまり、
よって、②より、 
･･･④
･･･⑤④より、
と
は直交する(内積を参照)ので、
とおくことができます。
⑤より、
，
∴ 
，または、
前者では、
これは、
より条件をみたしています。
行列Aは原点の回りに反時計回りに角θ 回転する1次変換を表す行列なので、ベクトル の大きさは
の大きさと同じで1です。よって、
です。
後者では、
これは、
となり条件をみたしません(ですが、このときも
です)。
以上より、
と
の長さが1のとき、すべてのnに対して
の長さは1です。
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･･･③ ただし、
であれば、
，
