京大文系数学'10年[2]
座標平面上の点
が
，
，
の範囲を動くとき、
，
のそれぞれの最大値と最小値を求めよ。
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解答 線形計画法の典型問題です。
，
，
･･･(＊) の範囲の境界線は、
①と②を連立すると、①×2－②より、
①，②の交点は
①と③を連立すると、①－③×2より、
①，③の交点は
②と③を連立すると、②×2－③より、
②，③の交点は
これより、(＊)を図示すると、右図黄緑色着色部分(境界線を含む)。
とおき、
と変形すると、傾き
，y切片kの直線を表します(直線の方程式を参照)。
kが大きくなるに従って、直線は上にずれて行きます。範囲(＊)を通過する直線を考えます。
kが最大になるのは、直線
が
を通過するときで、このとき、
kが最小になるのは、直線
が
を通過するときで、このとき、
よって、
の最大値：6，最小値：2 ......[答]
とおくと、原点を中心とする半径
の円(
のときは原点1点)を表します(円の方程式を参照)。
kが大きくなるに従って、円の半径が大きくなります。範囲(＊)を通過する円を考えます。
kが最大になるのは、円
が
を通過するときで、このとき、
kが最小になるのは、円
が直線②の
の部分と接するときで、このとき、
②と
を連立して、
この2次方程式が重解をもつので、
∴ 
(このとき、重解は
で
を満たします)
の最大値：
，最小値：
......[答]
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･･･①
･･･②
･･･③
∴ 
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∴ 
，
∴ 
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