京大理系数学'13年[3]
nを自然数とし、整式
を整式
で割った余りを
とする。このときaとbは整数であり、さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ。
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解答 ちょっと見た目には難問か？という感じがしないでもないですが、やってみると易問です。以前の重厚な京大数学の面影は微塵もありません。
整式
を整式
で割ると、2次式で割るので、余りは1次式です。商を
，余りを
とします(多項式の除算を参照)。
ここでは、2次方程式
の解
(
とおきます)を代入してみるのが定石です。
こうして、本問は、2次方程式を利用した次数下げの問題に帰着します。
以下、数学的帰納法により証明します。
(Ⅰ) 
のとき、
より、
，
です。
，
ともに整数で、1と0をともに割り切る素数は存在しないので、題意は成立します。 (Ⅱ) 
のとき、
とおけて、
，
がともに整数であり、かつ、
，
をともに割り切る素数は存在しないと仮定(これは、数学的帰納法の仮定です)します。 
(∵ 
)従って、
，
を、 
，
･･･①となるように決めれば、
とおくことができます。
また、①より、
，
は整数です。ここで、
，
をともに割り切るような素数pが存在すると仮定(これは、背理法の仮定です)すると、
，
(
，mは整数)とおくことができます。①より、 
，
∴ 
も
もともに素数pで割り切れることになり、数学的帰納法の仮定に反します。よって、「
，
をともに割り切るような素数pが存在する」とした仮定は誤りで、
，
をともに割り切るような素数pは存在しません。 (Ⅰ)(Ⅱ)より、nを自然数として、整式
を整式
で割った余りを
とすると、aとbは整数であり、さらにそれらをともに割り切る素数は存在しません。
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