京都大学理系2013年数学入試問題
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[1] 平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを1：1に内分する点をE，辺BCを2：1に内分する点をF，辺CDを3：1に内分する点をGとする。線分CEと線分FGの交点をPとし、線分APを延長した直線と辺BCの交点をQとするとき、比AP：PQを求めよ。
[解答へ]
[2] Nを2以上の自然数とし、
(
)を次の性質(i)，(ii)をみたす数列とする。
(i) 
， (ii) 
に対して、 このときどのような自然数Mに対しても
が成り立つことを示せ。
[解答へ]
[3] nを自然数とし、整式
を整式
で割った余りを
とする。このときaとbは整数であり、さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ。
[解答へ]
[4] 
における
の最大値を求めよ。ただし
および
が成り立つことは証明なしに用いてよい。
[解答へ]
[5] xy平面内で、y軸上の点Pを中心とする円Cが2つの曲線
とそれぞれ点A，点Bで接しているとする。さらに△PABはAとBがy軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする。このとき3つの曲線C，
，
で囲まれた部分の面積を求めよ。
ただし、2つの曲線がある点で接するとは、その点を共有し、さらにその点において共通の接線をもつことである。
[解答へ]
[6] 投げたとき表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する。数直線上に石を置き、この硬貨を投げて表が出れば数直線上で原点に関して対称な点に石を移動し、裏が出れば数直線上で座標1の点に関して対称な点に石を移動する。
(1) 石が座標xの点にあるとする。2回硬貨を投げたとき、石が座標xの点にある確率を求めよ。
(2) 石が原点にあるとする。nを自然数とし、
回硬貨を投げたとき、石が座標
の点にある確率を求めよ。 [解答へ]
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