京大理系数学'23年前期[1]

次の各問に答えよ。
1 定積分の値を求めよ。
2 整式を整式で割ったときの余りを求めよ。


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解答 問1は、部分積分する計算問題です。問2は、余りを3次式として、15乗根をに代入し、因数定理を利用して4元連立方程式を解いてもできそうですが、計算が複雑になりそうなので、少し工夫します。

1  (部分積分法を参照)
 (不定積分の公式を参照)

......[
]

2 とおきます。
より、の解は、15乗根のうち1以外のものです。このうちの1つをαとすると、
となるので、で割り、商を,余りをとして、
とすると、
 (因数定理を参照)
より、となりますが、α4通りの値をとるので、とならないか、と期待できます。実際に、で割った余りはです。なので、で割ってみると(多項式の除算を参照)
となり余りはです。整式の除算をしなくても、
と変形すれば、すぐにわかります。
そこで、命題「で割った余りは」を
数学的帰納法で証明します。
(I) のとき、で割った余りはなので命題は成立します。
(II) のとき、命題が成立し、で割って、商がとして、
が成立すると仮定します。
両辺にをかけると、


よって、で割った余りはとなるので、のときも命題は成立します。
(I)(II),数学的帰納法により、命題は成立し、で割った余りはであり、として、で割った余りは、 ......[]



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