問1　定積分の値を求めよ。

問2　整式を整式で割ったときの余りを求めよ。

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乗根をに代入し

......[答]

問2　，とおきます。

より、の解は、1の5乗根のうち1以外のものです。このうちの1つをαとすると、

となるので、をで割り、商を，余りをとして、

とすると、

より、となりますが、αは4通りの値をとるので、とならないか、と期待できます。実際に、をで割った余りはです。，なので、をで割ってみると、

となり余りはです。整式の除算をしなくても、

と変形すれば、すぐにわかります。
そこで、命題「をで割った余りは」を数学的帰納法で証明します。

(I) のとき、をで割った余りはなので命題は成立します。

(II) のとき、命題が成立し、をで割って、商がとして、

両辺にをかけると、

よって、をで割った余りはとなるので、のときも命題は成立します。

(I)，(II)，数学的帰納法により、命題は成立し、をで割った余りはであり、として、をで割った余りは、 ......[答]

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