京大理系数学'23年前期[1]
次の各問に答えよ。
問1 定積分
の値を求めよ。 問2 整式
を整式
で割ったときの余りを求めよ。
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解答 問1は、部分積分する計算問題です。問2は、余りを3次式として、1の5乗根を
に代入し、因数定理を利用して4元連立方程式を解いてもできそうですが、計算が複雑になりそうなので、少し工夫します。
問1 
(部分積分法を参照)
問2 
，
とおきます。 
より、
の解は、1の5乗根のうち1以外のものです。このうちの1つをαとすると、
とすると、
より、
となりますが、αは4通りの値をとるので、
とならないか、と期待できます。実際に、
を
で割った余りは
です。
，
なので、
を
で割ってみると(多項式の除算を参照)、となり余りは
です。整式の除算をしなくても、 と変形すれば、すぐにわかります。
そこで、命題「
を
で割った余りは
」を数学的帰納法で証明します。 (I) 
のとき、
を
で割った余りは
なので命題は成立します。 (II) 
のとき、命題が成立し、
を
で割って、商が
として、 が成立すると仮定します。
両辺に
をかけると、 よって、
を
で割った余りは
となるので、
のときも命題は成立します。 (I)，(II)，数学的帰納法により、命題は成立し、
を
で割った余りは
であり、
として、
を
で割った余りは、
......[答]
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を
で割り、商を
，余りを
として、
......[