京都大学理系2023年数学入試問題


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[1] 次の各問に答えよ。
1 定積分の値を求めよ。
2 整式を整式で割ったときの余りを求めよ。
[解答へ]


[2] 空間内の4OABCは同一平面上にないとする。点DPQを次のように定める。点Dを満たし、点Pは線分OA12に内分し、点Qは線分OBの中点である。さらに、直線OD上の点Rを、直線QRと直線PCが交点を持つように定める。このとき、線分ORの長さと線分RDの長さの比ORRDを求めよ。
[解答へ]


[3] nを自然数とする。1個のさいころをn回投げ、出た目を順に,・・・・・・,とし、n個の数の積Yとする。
(1) Y5で割り切れる確率を求めよ。
(2) Y15で割り切れる確率を求めよ。
[解答へ]


[4] 次の関数の最大値と最小値を求めよ。
 
ただし、eは自然対数の底であり、その値はである。
[解答へ]


[5] Oを原点とするxyz空間において、点Pと点Qは次の3つの条件(a)(b)(c)を満たしている。
(a) Px軸上にある。
(b) Qyz平面上にある。
(c) 線分OPと線分OQの長さの和は1である。
Pと点Qが条件(a)(b)(c)を満たしながらくまなく動くとき、線分PQが通過してできる立体の体積を求めよ。
[解答へ]


[6] p3以上の素数とする。また、θを実数とする。
(1) の式として表せ。
(2) のとき、となるような正の整数mnが存在するか否かを理由を付けて判定せよ。
[解答へ]



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