京大理系数学'23年前期[5]
Oを原点とするxyz空間において、点Pと点Qは次の3つの条件(a)，(b)，(c)を満たしている。
(a) 点Pはx軸上にある。
(b) 点Qはyz平面上にある。
(c) 線分OPと線分OQの長さの和は1である。
点Pと点Qが条件(a)，(b)，(c)を満たしながらくまなく動くとき、線分PQが通過してできる立体の体積を求めよ。
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解答 実質的に回転体の体積計算の問題です。
条件(a)より、x軸上の点Pのx座標をpとすると、Pの座標は
です。条件(c)より原点Oからの距離は1以下で、
です。また、条件(b)よりyz平面上に点Qをとります。
のとき、
より、
ですが、x軸上の点
をとると、やはり
であり、また
とPQはyz平面に関して対称です。従って、
として線分PQが通過してできる立体をSとして、Sはyz平面に関して対称です。よって、Sの体積は、
として考えた立体の体積の2倍であり、以後
としてSの
の体積を考えます。
より、yz平面上において点Qは、原点を中心とする半径
の円周上の点で、
として、Qの座標は
です。
線分PQ上の点Rは、
として(共線条件を参照)、
･･･①
(
)で切った断面を考えます。
のときには、
のときにのみ断面が存在し、①で
とすると、
となり、yz平面上において、Rは、原点Oを中心とする半径t の円周上の点(円の媒介変数表示を参照)であり、
なので、Rは、原点Oを中心とする半径1の円周上及び円内部の点です。 ･･･②
のとき、Rは
(
)でx軸上でx座標が0と1の間である1点となり、平面
で切った断面もx軸上の1点
です。
のとき原点Oになりますがこのときは②に含まれます。 ･･･③
として、Rのx座標をhとすると、
のときには、①より、
∴ 
，
で切った断面上の点Rが、この断面上で、点
を中心とし半径
の円周上の点であることを意味します。半径が
であるために、
，つまり、
です。
t 即ちhを固定してpが
の範囲を動くとき、半径
がどのような値をとりうるかを調べます。
であれば
であって、
のとき
，
のとき
，
のとき
より、増減表は以下。
増減表より、pが
の範囲を動くとき、半径rは、
の範囲の全ての値をとり得ます。
のときの③を含め、平面
で切った断面において、点Rは、点
を中心とする半径
の円周の周上及び内部をくまなく動きます。
のときの②より、
のときには、原点
を中心とする半径1の円周の周上及び内部をくまなく動きます。
よって、立体Sを平面
(
)で切ったときの断面の面積は、半径
の円の面積となり、
となります。 ･･･④
の場合は、半径1の円の面積で④に含まれます。
の場合は、x軸上の1点
となり、面積は0で④に含まれます。
注．上記では面倒なので、実際の答案では、1点を半径0，面積0の円と呼ぶ、ということにして、簡潔な答案にまとめるべきです。
以上より、Sの体積Vは、
の範囲で積分したものを2倍して、
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