京大理系数学'23年前期[6]
pを3以上の素数とする。また、θを実数とする。
(2) 
のとき、
となるような正の整数m，nが存在するか否かを理由を付けて判定せよ。
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解答 nを自然数として、
を
の整式
として表し、
としたものをn次のチェビシェフの多項式と言います。
，
，
，
となっています。
，
なので、
のグラフの
の部分は、
，
の正方形の中にぴったり収まります。
以下の解答で、漸化式①を用いるのはチェビシェフの多項式の問題では常套手段なので、ヒントがつくことも多いですが、記憶しておく必要があります。
(1) 
......[答]
......[答]
(2) 
のとき、
となるような正の整数m，nが存在するとします。 (1)からすると、
を
で表すとどうなるか、ということがポイントになりそうです。その際に、
が
の整式で表せることを帰納的に示すことになります。そのために、和を積に直す公式を用いて、漸化式を作ることにします。 
･･･①これより、例えば、
として、 ここで、例えば、
，
とすると、 
をかけると、右辺は、3以上の素数pの2乗
の倍数ですが、16はpの倍数ではないので、これで矛盾が導けそうです(整数を参照)。
さて、こうして矛盾を導くためには、
が
のn次の整数係数の整式であることと、その整式の最高次の項の係数が素数pの倍数ではないことを示しておく必要があります。
は
の2次の整数係数の整式で表され、最高次の項の係数は2，(1)より、
，
はそれぞれ
の3次，4次の整数係数の整式で表され、その最高次の項の係数は
，
となることから、
が
のn次の整数係数の整式で表され、最高次の項の係数が
であることが予測されるので、これを数学的帰納法で証明します。 (Ⅰ) 
のとき、
となるので、予測は成立します。 (Ⅱ) 
のとき、
となるので、予測は成立します。 (Ⅲ) 
のとき、予測が成立すると仮定すると、
は
のk次の整数係数の整式で表せ、最高次の係数は
，また、
は
の
次の整数係数の整式で表せ、最高次の係数は
です。 と書けますが、①より、
これは、
次の
の整式であり、係数
，
，
，
，･･･，
，
は全て整数であって、最高次の項の係数は
です。よって、
のときも予測は成立します。 (Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)，数学的帰納法より、自然数nに対して、予測は成立し、
は
のn次の整数係数の整式で表され、最高次の項の係数は
です。pを3以上の素数として、
のとき、
となるような正の整数m，nが存在すると仮定すると、
より、 
より、
をかけると、右辺中括弧内は整数で、右辺は3以上の素数pの倍数ですが、左辺はpの倍数ではなく(整数を参照)、この等式は成立し得ないので、正の整数m，nが存在する、とした仮定は誤りです。即ち、
となるような正の整数m，nは存在しません。
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と
を
の式として表せ。
(係数
，
，･･･，
，
は整数)
(係数
，
，･･･，
，
は整数)
(
，･･･，
，
は整数)
