京大理系数学'23年前期[2]

空間内の4OABCは同一平面上にないとする。点DPQを次のように定める。点Dを満たし、点Pは線分OA12に内分し、点Qは線分OBの中点である。さらに、直線OD上の点Rを、直線QRと直線PCが交点を持つように定める。このとき、線分ORの長さと線分RDの長さの比ORRDを求めよ。


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解答 空間ベクトルの標準的な計算問題です。


 (ベクトルの内分・外分を参照)
Rは直線OD上の点なので、kを実数として、
 ・・・①
直線QRと直線PCの交点をSとすると、Sは直線QR上の点であって、直線PC上の点でもあるので、mhを実数として、
 (①を代入)
 ・・・②
 ・・・③
②を用いて、
 ・・・④
③を用いて、
 ・・・⑤
④=⑤より係数を比較して(ベクトルの1次独立を参照)
  ・・・⑥, ・・・⑦,  ・・・⑧
⑥,⑧より、

 ∴
⑦より、
 ∴
①より、
よって、
ORRD = 19 ......[]



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