京大理系数学'99年後期[6]
(1) 
は
で連続な関数とする。このとき、 となるcが存在することを示せ。
(2) 
の
の部分と
およびy軸が囲む図形を、y軸のまわりに回転して得られる立体を考える。この立体をy軸に垂直な
個の平面によって各部分の体積が等しくなるようにn個に分割するとき、
に最も近い平面のy座標を
とする。このとき、
を求めよ。
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解答 (1)は積分の平均値の定理です。(2)は、一筋縄ではいきません。解答に幾重にも工夫が必要です。
(1) 
(
)とおきます。 
，
となるcが存在します。
よって、
，
となるcが存在します。
(2) 
の
の部分と
およびy軸が囲む図形を、y軸のまわりに回転して得られる立体の体積Vは、 
ではxをyで表すことができないので、
により置換積分を行います。
より、
，y：
のときx：
題意より、
･･･②ここで、
として(1)を用い、 
，
･･･③としたいのですが、
の具体的な形が書けないので困ります。ですが、
なので、 と書くことはできます。
となります。
こうして③を、
，
と書き直すことができます。②を用いて、
･･･④このままでは、
のときにθ がどうなるかわからないので、
を用いてはさみうちの形を作ります。④をθ について解き、 ∴ 
......[答]
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は
において連続であって、
において微分可能で、
(
，
)とおけば、
(
)
とすると、
，
より、