スペクトル分解(その2)
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この項目は、固有値・固有ベクトル、ハミルトン・ケーリーの定理、行列の対角化を参照してください。
スペクトル分解のつづきです。
対称行列Aを直交行列Mを用いて対角化する場合の、本来のスペクトル分解の例です。
例1．対称行列
のスペクトル分解を求める。
[解答] 固有方程式：
∴ 
よって、固有値は24と
のとき、
∴ 
これを満たすのは、例えば、
，
大きさ1のベクトルとして、固有値24に対応する固有ベクトルは、
のとき、
∴ 
これを満たすのは、例えば、
，
大きさ1のベクトルとして、固有値
に対応する固有ベクトルは、
これより、直交行列
，
を用いて、行列Aを
と対角化できます。
固有値24に対する射影子は、
固有値
に対応する射影子は、
よって、行列Aのスペクトル分解は、
......[答]
正式なスペクトル分解ではありませんが、対称行列でない行列の擬似スペクトル分解の例です。
例2．
のスペクトル分解を求める。
[解答] 固有方程式：
を解いて、
に対応する固有ベクトルは、例えば、
に対応する固有ベクトルは、例えば、
よって、
，
として、
固有値2に対応する射影子は、
固有値3に対応する射影子は、
よって、行列Aのスペクトル分解は、
......[答]
[別解] 2次の正方行列では、スペクトル分解を求めるだけなら、
，
を連立する方が簡単です。
3次正方行列で、固有方程式が重解をもつ場合の擬似スペクトル分解の例です。
例3．
のスペクトル分解を求める。
[解答] 固有方程式：
を解いて、
重解：
に対応する固有ベクトルは、例えば、
，
に対応する固有ベクトルは、例えば、
よって、
，
として、
固有値1に対応する射影子は、
と、
固有値2に対応する射影子は、
よって、行列Aのスペクトル分解は、
......[答]
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