スペクトル分解 関連問題
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この項目は、1次変換、固有値・固有ベクトル、ハミルトン・ケーリーの定理、行列の対角化を参照してください。
n次正方行列Aが異なる固有値
，
，･･･，
とそれに対応する固有ベクトル
，
，･･･，
(これらの固有ベクトルは1次独立です)をもつとします。このとき、
，
，･･･，
･･･①
これらは、行列Aがある固有の方向(固有ベクトルに平行な方向)を持っていて、その方向のベクトルに行列Aをかけると長さが変わるだけ、と言うことを意味しています。
n次元空間中の任意のベクトル：
(
，
，･･･，
は任意の実数)に行列Aをかけると、①を用いて、
となりますが、
，
，･･･，
･･･(＊) のような一連の行列
を捜してきて、
･･･②
のように書くことを考えてみます。
②が任意のベクトル
について成り立てば、恒等式の条件より、
･･･③
が成立します。
(＊)のような性質は、
がそれぞれ、任意のベクトル
の
の方向成分、
の方向成分、･･･，
の方向成分を取り出すような行列であることを意味しています。このような性質をもつ行列、
を、射影子と呼びます。
が表す1次変換を、
，
，･･･，
の方向への射影と言います。
であれば、
以外のすべての固有ベクトルと平行な方向から
に光を当てて、
の方向への影を作ることに相当します。
例えば、
が射影子であるためには、
，
･･･④
であれば、性質(＊)が満たされるので、このウェブサイトでは、④を
が射影子であるための条件と考えることにします。
を求めるために、④を1つにまとめて書くと、
は、
，
，･･･，
が1次独立なので、正則(
)であり、逆行列
をもちます。上式両辺の右から
をかけると、
，･･･，
についても、全く同様にして、
･････
さて、こうして得られた射影子
が他にどのような性質をもつかを調べてみます。
射影子をすべて加え合わせると、
より、単位行列になります。
また、性質④より、
，
，
のとき、
，
，
，
よって、任意のベクトル
に対して、
，
より、
(零行列)です。
より、
です。
逆に、
を満たす行列があるときに、任意のベクトル
に
をかけたときに、あるベクトル
をとって
(
は実数)
になったとすると、
よって、
とすれば、
と書けるので、
は
の方向への射影子です。
また、
を含む1次独立なベクトルの組
，
，･･･，
(iは1からnのどれか)について、
とおくと、
つまり、
が任意の実数
(
)について成り立つので、恒等式の条件より、
となるjについて、
となって、④が導けます。従って、
(
)
が、
が射影子であるための必要十分条件です。
(k：実数)という形をしていると、
となるjについて、
となり得ないので、
です。
であれば、
とハミルトン・ケーリーの定理より、固有方程式
を因数分解すると、
が出てきて、射影子
は、固有値0，1をもつことがわかります。
固有値1に対する固有ベクトルが、上記に出てきた、
より、
です。
が固有値0をもつということはどういうことかと言うと、
以外の方向の成分はすべて縮めて0にしてしまう、ということです。
③を用いることにより、行列の累乗の計算を容易に行うことができるのですが、通常は、
への「射影」と言う場合、
と垂直な方向から光を当ててできる影、つまり「正射影」のことを指します。また、射影子には、④以外にも条件がつきます。
正射影を考える場合には、
，
，･･･，
が正規直交基底となる場合(相互に垂直で、かつ、それぞれの大きさが1)を考えるので、上記の、
は、直交行列になります。
①を1つにまとめて書くと、
より、
と書けて、左から
をかけると、
となって、行列Aを対角化できますが、これの転置行列を考えると、
Mは直交行列で
を満たすので、両式の右辺が等しいことより、
従って、
を満たす行列(対角成分に関して、右上と左下に対称に数字が並ぶので、対称行列と言います)が、直交行列によって対角化できることがわかります。
このとき、例えば、射影子
についても、
として、
より(計算が複雑です。成分をていねいに書いて確かめてください)、
が成り立つので、
も(
，･･･，
も同様に)対称行列になります。
こうして、対称行列Aについて、対称行列である射影子
を用いて、③のように書くことができます。これを対称行列Aのスペクトル分解と言います。
ですが、Aが対称行列でなくても、異なる固有値
，
，･･･，
を持てば、全く同型の③式が成り立つので、このウェブサイトでは、Aが対称行列でない場合についても、③式を行列Aのスペクトル分解と呼ぶことにします(従って、正射影でなくても、④，あるいは、
が成り立つだけで射影子と呼ぶことにします)。
(スペクトル分解(その2)へつづく)
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