東工大数学'03年前期[4]
関数
(
)を次の漸化式により定める。
， 
は
の第k次導関数を表す。
(1) 
は
次多項式であることを示し、
の係数を求めよ。
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解答 関数列と微分が出てきますが、数学的帰納法の問題です。(2)のことも頭に入れて、帰納法の証明を考えるとよいでしょう。
の雰囲気をつかむために、
，
，
を求めてみます。
与漸化式において、
とすると、
，
より、
与漸化式において、
とすると、
，
より、
与漸化式において、
とすると、
，
より、
これで、この問題の大体の見当はついてしまいます。
(1) 上記の検討で、
が
次式になりそうなことは充分予測できます。 最高次の項
の係数ですが、
の
の係数：
でも見当がつきますが、不安なら、
の最高次の項も考えてみましょう。
の
の係数は、
の
の項を2回微分して
をかけたものになります。2回微分すると、係数に
が乗じられるので、
の
の係数は、
となり、
の
の係数は、
と予測できます。(1)として、この予測を証明すればよいのですが、(2)のことも考えておきます。先の心配をする余裕がないかも知れませんが、この問題では、(2)を考えてから(1)に戻って考え直しても、充分、試験時間内に入ると思います。(2)では、微分係数を聞いているのですが、1次、2次、3次、4次の微分係数を求めよと言っているので、
の1次、2次、3次、4次の項の係数が問題になりそうです。
上記の検討ですぐ気がつくことですが、
には、定数項と1次の項がないことが予測できます。これも、合わせて、証明しておくことにします。また、
の
，
，
の係数を
，
，
とおきます(
，
となることもわかりきっていますが)。
命題：
(
)は、
次式であって、
の係数は
であり、
とおける。
この命題を数学的帰納法により証明します。 (Ⅰ) 
のとき、
より、
は
次式であって、
の係数は
であり、
，
とすれば、命題は成立します。 (Ⅱ) 
のとき命題が成立するとして、
とおけたとします。 与漸化式において、
として、 
は、
次式であって、
の係数は、
であり、
，
，
とすれば、
とおけるので、
のときにも命題は成立します。(Ⅰ)，(Ⅱ)より、命題が証明されました。
の係数は
......[答]
(2) (1)の証明より、
，
より、
に対して、
です。 
，
より、数列
は、初項0，公差2の等差数列です。
よって、
，
より、
として、
(
のときも成り立ちます。階差数列を参照)以上より、
問題文中に漸化式が与えられていて、その漸化式を用いて数学的帰納法の証明を構成する証明問題で、一生懸命、漸化式を証明しようとする人が多いのですが、漸化式は成り立つとされている「事実」です。成り立つとされている「事実」の証明を試みても何の意味もありません。何を証明すべきなのか、何が明らかにされていないのか、ということをよく考えるようにしてください。
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