東工大数学'04年前期[4]
とする。空間において、点
を中心とする半径rの球と点
を中心とする半径
の球との共通部分の体積を
とする。次の問に答えよ。
(1) 
を求めよ。 (2) rが
の範囲を動くとき、
を最大にするrの値及び
の最大値を求めよ。
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解答 (1)の結果を見ると、これを微分するというだけでゾっとしますが、東工大の学生は根性でクリアせよ、ということなのでしょうか？
(1) 題意の共通部分は右図斜線部をx軸のまわりに回転させたものになります。
両円の2交点を通過する直線の左側と右側に分けて体積を考えます。
左側の体積を
，右側の体積を
とします。
を中心とする半径rの円：
･･･①
を中心とする半径
の円：
･･･②
①の円から内側の部分、②の円から内側の部分、両者の共通部分をx軸のまわりに回転させた立体の体積が
です。
①，②を連立して交点のx座標を求めると、①－②より、 ∴ 
･･･③
③で求められた交点のx座標をtとして、①の円で囲まれる領域のうち、
の部分をx軸のまわりに回転させてできる回転体の体積
は、 
･･･④
を、②の円で囲まれる領域のうち、
の部分をx軸のまわりに回転させてできる回転体の体積として求めようと考えると、定積分の計算がかなり面倒になります。
も形状としては実質的に
と変わりません。そこで④を利用することを考えます(実は、そのために、積分範囲を
としないで、
としておいたのですが)。
②の中心が
に来るように、①と②の円をx軸負方向に1だけ平行移動させ、さらに、y軸に関して対称移動させ、①と②の位置関係を逆にして考えます。
①と②の交点をx軸負方向に1だけ平行移動すると、交点のx座標は
から
となり、y軸に関して対称移動させると、交点のx座標は
となります。
そこで、②の半径は
なので、
のrを
に置き換え、
として、
を考えます。∴ 
......[答]
分母は、
において、
，
より、正です。
従って、増減表は以下のようになります(関数の増減を参照)。 これより、
のとき、最大値：
......[答]
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なので、
は、④において
とすることにより、
