東工大数学'05年前期[3]
Dを半径1の円盤、Cをxy平面の原点を中心とする半径1の円周とする。Dがつぎの条件(a)，(b)を共に満たしながらxyz空間内を動くとき、Dが通過する部分の体積を求めよ。
(a) Dの中心はC上にある。
(b) Dが乗っている平面は常にベクトル
と直交する。
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解答 形状がつかみにくい立体の体積を求める問題では、無理に立体の形状を追求せず、ある軸に垂直な平面で立体を切ってその断面積を考え、断面積を軸に沿って積分します。
この問題では、z軸に垂直に立体Kを切るのが素朴で取っつきやすいでしょう。
円板の中心がP
にあるとき、条件(b)より、円板は平面
･･･① 上にあって、これをzx平面上までy軸と平行に平行移動させると、円：
･･･② になります。
ところで、Dの通過する部分にできる立体Kはxy平面、yz平面、zx平面に関して対称なので、
，
，
の部分のKの体積を考えて、8倍することにします。
上記θ を
の範囲で考え、立体Kをz軸に垂直な平面
(
)で切ったときの切り口を考えます。
まず、Pに中心がある円盤Dを平面
で切ってみます。
②で
として、
∴ 
･･･③
これより、切り口は、両端を
，
とする線分です。この線分の長さは
(kにのみ依存し、θ には依存しない)で、その中点は、円Cを平面
上にまで平行移動させた円周上にあります。結局、円盤Dを平面
で切った切り口をxy平面上まで平行移動させると、右図斜線部のようになります。
右図の円弧EIは、円Cの
，
の部分です。
③で
とすると、
(∵ 第1象限で考えている)より、
，①より、このとき、
(
)
つまり、右図の点Dは
です。
①で
とすると、
，③より、このとき、
つまり、右図の点Aは
，点Jは
です。
①で
とすると、
，③より、このとき、
つまり、右図の点Bは
，点Fは
です。
斜線部の境界線の弧ADは、xy平面上の円C上を点P
が
となるように動くとき、Pをx軸負方向に
だけ平行移動させた点の描く曲線なので、C
を中心とする半径1の円弧です。同様に、右図の弧FJは円弧EIをx軸正方向に
だけ平行移動させた曲線で、H
を中心とする半径1の円弧です。
また、
とおくと、
･･･④ ，
断面積、即ち、右図斜線部の面積
は、扇形HFJの面積(扇形OEIの面積)、長方形OEFHの面積の和から、x軸y軸円弧ADで囲まれる面積(扇形CADの面積から三角形CODの面積を除いたもの)を引いたものになります。
扇形OEIの面積は、半径1の円の面積の
で
，長方形OEFHの面積は
，扇形CADの面積は
三角形CODの面積は
∴ 
･･･⑤
求める体積Vは、
⑤のφ を含む項は、kで積分することができないので、④より、
とおいて置換積分します。
，
，k：
のとき、φ：
よって、
は、
とおくと、
より、半径1の円の面積の
に等しく、
は、
とおくと、
，
，φ：
∴ 
......[答]
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