東工大数学'09年前期[1]
点Pから放物線
へ2本の接線が引けるとき、2つの接点をA，Bとし、線分PA，PBおよびこの放物線で囲まれる図形の面積をSとする。PA，PBが直交するときのSの最小値を求めよ。
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解答 頻出タイプの問題で落とせない問題です。
点P
，2接点をA
，B
(
)とします。
より、
Aにおける放物線の接線は、
･･･①
･･･②
①，②を連立して、
より、
これがPのx座標で、
･･･④ (これより、
となります)
放物線は下に凸なので、接線は放物線から下側にきます。線分PA，PBおよびこの放物線で囲まれる図形を
のところで分けて考えます。定積分は少々工夫して計算するとラクになるので、以下の計算要領を覚えてください。
被積分関数を2乗の形にしたことに注意してください。こうできるのは、放物線と接線とで挟まれている部分の面積を計算しているからで、①と放物線の方程式、②と放物線の方程式をそれぞれ連立すると
，
が重解になるからです。定積分の積分範囲にa，bが出てくるので、積分計算がラクになります。
③，④があるので対称式の技巧を使いたいのですが、
は対称式ではありません。ですが、
なら対称式です。そこで、
と変形して、③，④を使うと、
これは、
のときに最小となり、Sの最小値は、
......[答]
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