東工大数学'10年前期[1]
とする。
(1) 
において、
は唯一の解を持つことを示せ。 (2) 
とする。(1)の唯一の解をαとするとき、Jを
の式で表せ。 (3) (2)で定義されたJと
の大小を比較せよ。
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解答 見た目はやりにくそうですが、やって行くと典型パターンが見えてきます。
とすると、
･･･①
とおくと、
増減表より(関数の増減を参照)、
において、方程式
，即ち、
は、(
の範囲に)唯一の解をもちます。
(
) ･･･②を満たします。
においては、
より
，
においては、
より
，
･･･③
よって、 ここで、
より、
(
：積分定数)よって、
(3) 
と
の大小を比べればよいのですが、2で割って、
と
の大小を比べることになります。②より
，
なので、
なのか
なのかがわかれば、Jと
の大小を判断できます。 αは、方程式①の解なのですが、(1)の
の増減を利用すると、
において
，
において
なので、
であれば
であり、
であれば
です。
ですが、
では、
が困ります。③より、
の正負と
の正負が逆になるので、
を調べてみます。 よって、
，
より、(1)の
の増減表から
において
は単調減少なので、
∴ 
......[答]
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より、
，よって、
，
とすると、
においては、
より、
，
の
における解αは、
，即ち、①より、
(∵ ②)
......[答]
(∵ 
，
)
，
