東工大数学'11年前期[4]
平面上に一辺の長さが1の正方形DおよびDと交わる直線があるとする。この直線を軸にDを回転して得られる回転体について以下の問いに答えよ。
(1) Dと同じ平面上の直線
はDのどの辺にも平行でないものとする。軸とする直線は
と平行なものの中で考えるとき、回転体の体積を最大にする直線はDと唯1点で交わることを示せ。 (2) Dと交わる直線を軸としてできるすべての回転体の体積の中で最大となる値を求めよ。
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解答 難問です。
(1) 右図のように、直線
と平行にx軸を引き、頂点の1つが原点O
であるような、1辺の長さ1の正方形OABCを考えます。直線OAの傾きをm (
)として、その方程式は、
･･･①
直線BCの方程式を、
(
)として、原点と直線BCとの距離は1なので、 
より、
直線BCの方程式は、
･･･②
直線OCは、直線BCと垂直なので、直線OCの傾きは
で(直線の平行・垂直を参照)、その方程式は、
･･･③
②，③を連立すると、
，
∴ 
，③より、
よって、Cの座標は
直線ABの方程式を、
(
)として、原点と直線ABとの距離は1なので、
より、
直線ABの方程式は、
･･･④
①，④を連立すると、
，
∴ 
，①より、
よって、Aの座標は
②，④を連立すると、
∴ 
，
よって、Bの座標は
ここで、図形の存在範囲の左端Cのx座標を
，右端Aのx座標を
とおきます。
また、辺BC，辺ABを表す関数を
，辺OC，辺OAを表す関数を
とします。つまり、
のとき、②より、
のとき、④より、
のとき、③より、
のとき、①より、
正方形OABCをy軸方向に
だけ平行移動させてx軸の回りに回転させることにより、正方形Dを直線
と平行な直線のまわりに回転させるのと同一の状況を考えることにします。つまり、
，
をx軸の回りに回転させる、と考えます。
対称性より、kについては、
(
は、Bのy座標の
)，また、mについては、Cのy座標がAのy座標よりも大きくなる範囲、
，つまり、
の範囲で考えれば十分です。 
･･･⑤(ii) 
のとき(右上図緑色線)、 方程式
は、
に1実数解
，
の範囲に1実数解
をもちます。
このとき、
，
においては、回転体は
を回転したものから
を回転したものを取り除けば良いのですが、
においては、
と
の大きい方を回転することになります。
だとすると、
そこで、右上の図に、
のグラフ(青色線)を加えておきました。このグラフは、
のところと
のところで折れ曲がります。
のときには
より、
なので、回転体の体積
は、 
と
の差を考えます。
･･･⑥ここで、⑥のうち、
，
における定積分の被積分関数について、 
･･･⑦よって、
･･･⑧
･･･⑨⑥のうち、
における定積分の被積分関数について、この範囲では、
なので 
･･･⑩よって、
これと、⑧，⑨より、
･･･⑪ (iii) 
のとき(右上図赤色線)、 方程式
が
の範囲に1実数解
を持ちます。
方程式
が
の範囲に1実数解
を持ちます。
方程式
が
の範囲に1実数解
を持ちます。
において、
，つまり、
において、
，つまり、
これより、回転体の体積
は、 このうち、
，
における定積分の被積分関数は、⑦，⑩と同様にして、0以上の値をとり、しかも「恒等的に0」ではないので、 ⑫の
における定積分の被積分関数について、この範囲では、
なので、 
･･･⑬また、⑫の
における定積分の被積分関数については、この範囲では
となり、
のときと同じようには行きません。この定積分は、mが0に近くkが
に近いと、被積分関数が負になることがあります。
の
における定積分は、
なので、⑫の
における定積分では、
の
における定積分は、
の
における定積分から引くのではなく、
の
における定積分から引くことにします(きわどいところから引くのではなく、余裕のあるところから引く)。
において、⑫の定積分の被積分関数の後ろ2項について、 より、
(置換積分をしている)
･･･⑭なので、⑫の
の部分の定積分、 
(
)のうちの一部
を借りてきて、これと⑭との和をとると、 この被積分関数は、
より、
･･･⑮問題は、
という積分範囲が、
の積分範囲に含まれるか、ということですが、直線AB：
において
とすると、
となり、
ですが、
なので、 より、
であって、積分範囲
は積分範囲
に含まれます。以上より、⑫は、 以上より、
(iv) 
のとき(右上図の橙色線)、 方程式
が
の範囲に1実数解
を持ちます。
方程式
が、
に1実数解
，
に1実数解
，
の範囲に1実数解
を持ちます。
方程式
が
の範囲に1実数解
を持ちます。
，
において、
，つまり、
，
において、
，つまり、
これより、回転体の体積
は、 このうち、
，
，
，
，
における定積分の被積分関数は、⑦，⑩，⑬と同様にして、0以上の値をとり、しかも「恒等的に0」ではないので、 ⑯の
における定積分は、(iii) の
における定積分と同様に、上記と同じようにはいかないので、
における定積分と合わせて考えることになります。
，また、
として
より、⑮を導いたのと同様にして、 ∴ 
(i)，(ii)，(iii)，(iv)より、回転体の体積は
のとき最大で、軸とする直線は
と平行なものの中で考えるとき、回転体の体積を最大にする直線はDと唯1点で交わります。
(2) (1)より、mを固定して考えるとき、回転体の体積の最大値は、
それぞれの定積分は、円錐、あるいは、円錐台の体積として、
これを
とおくと、
において、
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･･･⑫
は
において増加関数なので、xを
として、
，(
)
(
)
･･･⑯
は増加関数で、
......[答]
