東工大数学'13年前期[3]
kを定数とするとき、方程式
の異なる正の解の個数を求めよ。
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解答 試験場で熱くなってしまうと気づきにくいですが、
とおくと、
です。とりあえず、関数の雰囲気をつかむためにも、簡単な数値を代入してみる、という心がけが大切だということでしょう。
となりますが、これ以外に
となるxがあるかどうか調べます。
とすると、
両辺の対数(底：e)をとり、
･･･①
のとき、①は成立し、
･･･②
，
においては、①より、
とおきます。
を満たすxが
以外にあるかどうか調べます。
ここで
としてみても埒があかないので、この分子を
とおいて、さらに調べます。
とすると、
において
より
減少，
において
より
増加(関数の増減を参照)，よって、
よって、
，
において
これより、
は、
，
において増加関数で、
，
(極限の公式を参照)，
ですが、これ以外に、
となるxはありません。
において
，
，
において
，
，
において
，
，
以上より、
の増減表は以下のようになります。
増減表より、
の正の解の個数は、
のとき0個，
，
のとき1個，
，
のとき2個，
のとき3個 ......[答]
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