東工大数学'13年前期[4]
正の整数nに対し、
の範囲において
を満たすxの区間の長さの総和を
とする。このとき、
を求めよ。
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解答 
は、和を積に直す公式：
を利用して考えます。
いきなり、正の整数nのまま解答しはじめても大丈夫ですが、ここでは、
として状況を調べてみます。
のとき、
の範囲で
となるのは
のみ。
の範囲で
となるのは
のみ。
表より、
となるのは、
のときで、
のとき、
の範囲で
となるのは
のときで、
の範囲で
となるのは
のときで、
| x | 0 |
|  |
|  |
|  |
|  |
 | ＋ | ＋ | 0 | − | − | − | 0 | ＋ | ＋ |
 | 0 | ＋ | ＋ | ＋ | 0 | − | − | − | − |
 | 0 | ＋ | 0 | − | 0 | ＋ | 0 | − | − |
表より、
となるのは、
，
のときで、
のとき、
の範囲で
となるのは
のときで、
の範囲で
となるのは
のときで、
| x | 0 |
|  |
|  |
|  |
|  |
|  |
|  |
 | ＋ | ＋ | 0 | − | − | − | 0 | ＋ | ＋ | ＋ | 0 | − | − |
 | 0 | ＋ | ＋ | ＋ | 0 | − | − | − | 0 | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ |
 | 0 | ＋ | 0 | − | 0 | ＋ | 0 | − | 0 | ＋ | 0 | − | − |
表より、
となるのは、
，
，
のときで、
正の整数nに対し、
の範囲において
より、
の範囲で
となるのは、
(
)のときで、
の範囲で
となるのは、
(
)のときで、
ここで、
となることに注意します。
また、
について、
において、
と
とは同符号で、
において、
と
とは異符号で、
よって、
∴ 
......[答] (数列の極限を参照)
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