東工大数学'13年前期[5]
a，bを正の実数とし、円
：
と楕円
：
を考える。
(1) 
が
に内接するためのa，bの条件を求めよ。 (2) 
とし、
が
に内接しているとする。このとき、第1象限における
と
の接点の座標
を求めよ。 (3) (2)の条件のもとで、
の範囲において、
と
で囲まれた部分の面積を求めよ。
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解答 円と楕円が接する問題は、東大理系'96年前期[6]，東工大'98年後期[2]などの類題があります。
が
に内接するとき、楕円の軸端点
において接する場合と、軸端点以外の第1象限、第4象限において接する場合の2通りがあることに注意します。
(1) 
の式を変形して、
･･･① 
の式を変形して、
･･･②
①と②を連立すると、
･･･③①で
より円
の存在範囲は、
･･･④
②で
より楕円
の存在範囲は、
･･･⑤
が
に内接するので、④の範囲は⑤の範囲に含まれる必要があります。よって、 ここで、
，
の接し方で場合分けします。 (i) 
のとき、円
は、
と
を直径の両端とする円になりますが、このとき、
と
は
において接します。 このとき、③は、
この2次方程式は、
のほかに、
のときには見かけ上
という解をもっています。円
が円
に内接する条件は、2次方程式③が、④の範囲：
に
以外の解を持たないこと(解をもってしまうと、ここで
と
が交わることになります)です(2次方程式の一般論を参照)。つまり、
となるか、または、
，または、
よって、
，または、
，または、
かつ
以上より、
より、
(ii) 
のとき、
より、円
が
において
と接することはなく、接するとすれば、
においてであって、
は
に第1象限、第4象限で内接します。 このときは、円
が円
に内接する条件は、2次方程式③が、④の範囲：
に重解をもつことです。 ∴ 
(
)このとき、重解は、
これが③の範囲に属することから、 以上より、求める条件は、
かつ
または、
かつ
......[答]
(2) 
は、
を満たすので、このとき、
は
に第1象限、第4象限において内接します。 (1)より③で
，
とすると、 ②より、
∴ 
よって、第1象限の接点は
......[答]
(3) 以下、
とします。求める面積Sは、
：
と
：
に挟まれた部分(
)の面積で、 最初の積分は、半径
の円の
(頂角
の扇形)と、底辺
，高さ
の三角形の面積の和であり、最後の積分は、半径
の円の
(頂角
の扇形)と、底辺
，高さ
の三角形の面積の和になります(置換積分(その2)を参照)。 
......[答]
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