東工大数学'20年前期[2]
複素数平面上の異なる3点A，B，Cを複素数α，β，γで表す。ここでA，B，Cは同一直線上にないと仮定する。
(1) △ABCが正三角形となる必要十分条件は、
であることを示せ。
(2) △ABCが正三角形のとき、△ABCの外接円上の点Pを任意にとる。このとき、
および
を外接円の半径Rを用いて表せ。ただし、2点X，Yに対し、XYとは線分XYの長さを表す。
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解答 1の3乗根ω(
)の性質、
，
をフル活用します。
(1) 題意の条件の下に、
△ABCが正三角形 ⇔ 点Aの周りに点Bを
回転すると点C ⇔ 
従って、
⇔ 
展開して整理すると、 
∴ 
(2) △ABCの外接円の中心が原点Oで、円上に反時計回りにA，B，Cの順に並んでいるとして、一般性を失いません。△ABCが正三角形のとき、
より、
として、
，
， また、
，
，
より、
，
より、
，
，Pを表す複素数をpとして、
，これらを使って、 
･･･①
･･･②
･･･③①＋②＋③より、
......[答]
･･･④
･･･⑤
･･･⑥④＋⑤＋⑥より、
......[答]
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