東京工業大学2020年前期数学入試問題


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[1]　次の問いに答えよ。
(1) の値が、3を法として2に合同である正の整数xをすべて求めよ。
(2) k個の連続した正の整数，･･･，に対して、
()
の値がすべて素数になるkの最大値と、そのkに対する連続した正の整数，･･･，をすべて求めよ。ここでk個の連続した整数とは、
，，，･･･，
となる列のことである。
[解答へ]

[2]　複素数平面上の異なる3点A，B，Cを複素数α，β，γで表す。ここでA，B，Cは同一直線上にないと仮定する。
(1) △ABCが正三角形となる必要十分条件は、
であることを示せ。
(2) △ABCが正三角形のとき、△ABCの外接円上の点Pを任意にとる。このとき、
および
を外接円の半径Rを用いて表せ。ただし、2点X，Yに対し、XYとは線分XYの長さを表す。
[解答へ]

[3]　座標空間に5点
O，A，B，C，P
をとる。さらに、，に対して2点QとRを考える。
(1) 点P，Q，Rを通る平面をHとする。平面Hと線分ACの交点Tの座標、および平面Hと線分BCの交点Sの座標を求めよ。
(2) 点Q，R，S，Tが同一円周上あるための必要十分条件をa，bを用いて表し、それを満たす点の範囲を座標平面上に図示せよ。
[解答へ]

[4]　nを正の奇数とする。曲線 ()とx軸で囲まれた部分をとする。直線をとおき、の周りにを1回転させてできる回転体をとする。
(1) に対して、点をPとおく。また、Pからに下ろした垂線とx軸の交点をQとする。線分PQをの周りに1回転させてできる図形の面積をxの式で表せ。
(2) (1)の結果を用いて、回転体の体積をnの式で表せ。
[解答へ]

[5]　kを正の整数とし、とおく。
(1) をとkを用いて表せ。
(2) kを限りなく大きくするとき、数列の極限値Aを求めよ。
(3) (2)の極限値Aに対し、kを限りなく大きくするとき、数列
が0ではない値に収束する整数m，n ()を求めよ。また、そのときの極限値Bを求めよ。
(4) (2)と(3)の極限値A，Bに対し、kを限りなく大きくするとき、数列
が0ではない値に収束する整数p，q，r ()を求めよ。また、そのときの極限値を求めよ。
[解答へ]




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