東工大数学'20年前期[4]
nを正の奇数とする。曲線
(
)とx軸で囲まれた部分を
とする。直線
を
とおき、
の周りに
を1回転させてできる回転体を
とする。
(1) 
に対して、点
をPとおく。また、Pから
に下ろした垂線とx軸の交点をQとする。線分PQを
の周りに1回転させてできる図形の面積をxの式で表せ。 (2) (1)の結果を用いて、回転体
の体積をnの式で表せ。
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解答 斜回転体の問題です。誘導が付いているので、解いた経験があれば、特に問題はないでしょう。計算ミスに注意します。
(1) Pから
に下ろした垂線の足をHとして、この垂線は、傾き1で点P
を通るので、直線上の点を
として、 x軸との交点は、
として、
，つまり、Q
P，Qは、それぞれHを中心として、半径HP，半径HQの円周
，
を描くので、線分PQを
の周りに1回転させてできる図形は、両円周に挟まれた領域となります。
：
と①の交点Hのx座標は、両式を連立し、 
，
･･･②Hを通りx軸に平行な直線にP，Qから下ろした垂線の足を、R，Sとすると、右図で、直線①の傾きは1なので、
，
，よって、 
......[答]
(2) (1)で面積
を求めた図形の回転軸は直線
であって、x軸ではないので、
としても回転体の体積は求められません。回転体の体積を求めるためには、回転体の回転軸に垂直な断面の面積
を、回転軸(本問では、直線
)に沿って積分しなければなりません。
に沿って原点からの距離はOHで、線分PQが存在するOHの範囲は
なので、求める体積は、
となります。 このままでは、
をOHで積分できないので、OHをxで表して置換積分します。OH：
のときx：
，②より、
，
従って、 これより、
......[答]
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は、
の面積から
の面積を引いて、
･･･①