東工大数学'23年前期[1]

実数の整数部分を求めよ。


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解答 多分、この問題が載っている問題集の答を見てしまえば易問ですが、試験場では手がかりがなく、悪戦苦闘することになります。東工大では、はさみうちが頻出なので、当然、差が1以内になるような2数ではさむことを考えます。手がかりの全くない問題なので、解答方針は以下以外にも色々考えられます。

より大きなものはないので、
xの方を不等式ではさみます。
とおくと、において、
よって
(定積分と不等式を参照)
 ・・・@
右辺は(不定積分の公式を参照)
 ・・・A
Aは、より、であって、1よりも大きく2よりもやや小さい数です。I 1よりも大きいと言えれば、I の整数部分は1だということになります。@の左辺は、

この中で、より、とするのでは、@左辺が0より大としか言えず、I の整数部分が01か確定しません。
@で
I よりも小さい側をとするのでは緩すぎるので、もう少し大きいものを考える必要があります。
そこで、積分区間を分けることを考えます
(定積分を参照)
とおきます。です。
の方は、において、

この左辺は、

よって、
 ・・・B
の方は、において、
この左辺は、


ここで、より、より、
 ・・・C
注.こんな計算をしなくても、においてなので、です。
B+Cより、C
> 0なので
となるのですが、より、,つまり、なので、となり、となってしまい、が導けません。
そこで、の積分の比較対象の被積分関数を別の関数に変えてみます。
において、より、


実は、数値計算すると、(試験場では、関数電卓を使うわけには行かないので、この確認は無理です)であって、この右辺は1よりも大きいので、これでできているのですが、関数電卓なしで、右辺が1より大きいことを言うのが極めて困難です。
そこで、の方の積分区間をもう少し分けてみます。

です。
において、より、


Bより、
ここで、となってくれれば、になります。そこで、exに代えて分母を払った形を、
とおいて、その挙動を調べます。なので、を因数分解して、
とおき微分すると、とすると、増減表は以下のようになります。
x   
00
  

増減表より、においては減少、 ()においては増加です。


より、,つまり、は、の範囲には解を持たず、の範囲に解を持ちます。つまり、の範囲でです。なので、,よって、
より、 ・・・D
においてであってより、


 ( D)
@,Aと合わせて、より、
よって、の整数部分は1 ......[]

別解.上記は、積分区間を刻んで行けば、,・・・と次第に大きくなって行くので、いつかは必ずできる安全確実な方法ではありますが、いかにも大変です。
試験会場で試行錯誤するうちに、直線が曲線の接線であることに気づければ、曲線は下に凸なので、接線は曲線から下側にあり、すべての実数xについて、です。これより、として、


1と比べて非常に小さい数ですが、なので、より、
( )
上記のAと合わせて、
となります。



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