実数の整数部分を求めよ。

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数ではさむことを考えます。手がかりの全くない問題なので、解答方針は以下以外にも色々考えられます。

より大きなものはないので、

の方を不等式ではさみます。
，とおくと、において、，
よって、

　･･･�@

　･･･�A

これは、より、であって、

このうち、より、とするのでは、左辺が

よりも小さい側をとするのでは緩すぎるので、もう少し大きいものを考える必要があります。
そこで、積分区間を分けることを考えます。

，とおきます。です。
の方は、において、，

　･･･�B

の方は、において、，

ここで、より、より、

　･･･�C

注．こんな計算をしなくても、においてなので、です。
�B＋�Cより、

となるのですが、より、，つまり、なので、となり、となってしまい、が導けません。
そこで、の積分の比較対象の被積分関数を別の関数に変えてみます。
において、より、

実は、数値計算すると、，

より大きいことを言うのが極めて困難です。
そこで、の方の積分区間をもう少し分けてみます。

，，です。
において、より、

ここで、となってくれれば、になります。そこで、

とおいて、その挙動を調べます。なので、を因数分解して、

とおくと、，とすると、，の増減表は以下のようになります。

x
	＋	0	−	0	＋

増減表より、においては減少、

()

においては増加です。

より、，つまり、は、の範囲には解を持たず、の範囲に解を持ちます。つまり、の範囲で，です。なので、，よって、

より、　･･･�D
，，においてであってより、

　(∵ �D)

�@，�Aと合わせて、より、

よって、の整数部分は

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