東工大数学'23年前期[1]
実数
の整数部分を求めよ。
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解答 多分、この問題が載っている問題集の答を見てしまえば易問ですが、試験場では手がかりがなく、悪戦苦闘することになります。東工大では、はさみうちが頻出なので、当然、差が1以内になるような2数ではさむことを考えます。手がかりの全くない問題なので、解答方針は以下以外にも色々考えられます。
より大きなものはないので、xの方を不等式ではさみます。
，
とおくと、
において、
，
よって(定積分と不等式を参照)、
･･･①
･･･②
より、
であって、1よりも大きく2よりもやや小さい数です。I が1よりも大きいと言えれば、I の整数部分は1だということになります。①の左辺は、
この中で、
より、
とするのでは、①左辺が0より大としか言えず、I の整数部分が0か1か確定しません。
①でI よりも小さい側を
とするのでは緩すぎるので、もう少し大きいものを考える必要があります。
そこで、積分区間を分けることを考えます(定積分を参照)。
，
とおきます。
です。
の方は、
において、
，
この左辺は、
よって、
･･･③
の方は、
において、
，
この左辺は、
ここで、
より、
より、
･･･④
において
なので、
です。
③＋④より、④ > 0なので
となるのですが、
より、
，つまり、
なので、
となり、
となってしまい、
が導けません。
そこで、
の積分の比較対象の被積分関数を別の関数に変えてみます。
において、
より、
実は、数値計算すると、
，
(試験場では、関数電卓を使うわけには行かないので、この確認は無理です)であって、この右辺は1よりも大きいので、これでできているのですが、関数電卓なしで、右辺が1より大きいことを言うのが極めて困難です。
そこで、
の方の積分区間をもう少し分けてみます。
，
，
です。
において、
より、
③より、
ここで、
となってくれれば、
になります。そこで、eをxに代えて分母を払った形を、
とおいて、その挙動を調べます。
なので、
を因数分解して、
とおき微分すると、
，
とすると、
，
の増減表は以下のようになります。
増減表より、
において
は減少、
(
)において
は増加です。
より、
，つまり、
は、
の範囲には解を持たず、
の範囲に解を持ちます。つまり、
の範囲で
，
です。
なので、
，よって、
より、
･･･⑤
，
，
において
であって
より、
(∵ ⑤)
より、
よって、
の整数部分は1 ......[答]
別解．上記は、積分区間を刻んで行けば、
，
，･･･と次第に大きくなって行くので、いつかは必ずできる安全確実な方法ではありますが、いかにも大変です。 試験会場で試行錯誤するうちに、直線
が曲線
の接線であることに気づければ、曲線
は下に凸なので、接線
は曲線
から下側にあり、すべての実数xについて、
です。これより、
として、 
(∵ 
)上記の②と合わせて、
となります。
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は1と比べて非常に小さい数ですが、
なので、
より、
