東工大数学'23年前期[2]

方程式
を満たす整数の組をすべて求めよ。


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解答 答だけなら、すぐに分かりますが、どうしてそれで良いのか、を答案上で説明する論述力が問われます。論述を容易にする手法の一つは、簡潔を狙わず、下記のように、ある程度場合を絞ってシラミ潰しにすることです。なお整数を参照してください。


xyが整数なので、
 ・・・@
とおくと、ABは、それぞれ連続3整数の積です。連続3整数の中には必ず2の倍数と3の倍数が存在するので、連続3整数の積AB6の倍数です。

連続
3整数の積ABが整数値をとるとき、それを満たす整数xyが存在するかどうかを調べるために、ここで、t 3次関数
の挙動を調べておきます。微分すると、

よって、増減表は以下のようになります。
t   
00

なので、増減表より、においては増加関数です。なので、0以上の整数Mに対して、方程式の範囲に、ただ一つの解を持ちます(微分法の方程式への応用を参照)。 ・・・()

与式より、よりであって、abcdef0以上の整数として、
 ・・・A
とおくと、
よって、
 ・・・B
 ・・・C
 ・・・D
Bのより、に限られます。
Cのより、に限られます。
Dのより、に限られます。
これより、
4通りに分けて調べます。

(i) のとき、Aよりとなりますが、A6の倍数でなく、Aを連続3整数の積とすることはできず、不適です。
(ii) のとき、C,Dよりです。Aより、
 ・・・E
のとき、Eより6の倍数でなく、Aを連続3整数の積とすることはできません。
のとき、Eよりは、,つまり、またはのときのみ、連続3整数の積となります。
このとき@のx (連続3整数の真ん中の数)は、,Bよりですが、であって、なので、上記の()より、方程式の解は、の範囲にあり、は連続3整数の積になることはありません。
のとき、Aが異なる3整数の積となるのはの場合のみで、は、連続3整数の積となりません。または、よりの解は、の範囲にあって、123整数の積で表すことはできない、とも言えます。
のとき、は、,つまり、またはのときのみ、連続3整数の積となります。
このとき@のxは、,Bよりですが、なので、上記の()より、方程式の解は、の範囲にあり、が連続3整数の積になることはありません。
(iii) のとき、となりますが、A6の倍数でなく、Aを連続3整数の積とすることはできず、不適です。
(iv) のとき、C,Dよりです。となります。
のとき、6の倍数でなく、Aを連続3整数の積とすることはできません。
のとき、では、なので、上記の()より、方程式の解は、の範囲にあり、が連続3整数の積になることはなく、不適です。
のとき、は、,つまり、またはのときのみ、連続3整数の積となります。
このとき@のxは、,Bよりとなりますが、の場合のみ連続3整数の積になり、@のyは、です。
のとき、は、,つまり、またはのときのみ、連続3整数の積となります。
このとき@のxは、,Bよりとなりますが、の場合のみ連続3整数の積になり、@のyは、です。

以上より、求める整数の組は、 ......[]



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